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一、基本概念和性质
对于点X0∈D,在X0点等于零的约束称为对X0起作用的约束,在X0点不等于零的约束称为对X0不起作用的约束。
在点X0起作用的约束
包括全体等式约束hi(X)=0,i=1,…,mgi(X0)=0,j∈J⊂{1,…,l)的不等式约束gi(X0)≥0(j∈J)。
几何意义:位于这些约束的边界上。
在X0的不起作用的约束
gi(X0)>0的不等式约束。
几何意义:位于这些约束的内部。
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方向P∈Rn在点X0∈D称为是可行的
是指存在正数λ0,使对一切λ∈[0,λ0]都有X0+λP∈D。
记J={j|gi(X0)=0,1≤j≤l}。即所有起作用约束下标的集合。
如果P为X0点的可行方向,则存在λ0>0,使对任意λ∈[0,λ0],有:
这个条件是P是X0的可行方向的充分条件?
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由泰勒公式
对X0起作用的约束,当λ>0足够小时
对X0不起作用的约束,gi(X0)>0,当λ>0足够小时,也有:
因此,只要P满足下式,即可保证它为X0点的可行方向。
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若X0点的某一方向P,即是该点的可行方向,又是该点的下降方向,就称它为这个点的可行下降方向。
这可作为可行下降的充分条件。
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定理4
对某一点来说,若该点不存在可行下降方向,它就可能是局部极小点,若存在可行下降方向,它当然就不是极小点。
设X*是NLP问题的局部极小点,f(X)在X*处可微,而且
gi(X)在X*处可微,当j∈J
gi(X)在X*处连续,当j∈J
则在X*点不存在可行下降方向,从而不存在P同时满足:
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二、最优性条件(K-T条件)
库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一,具有很重要的理论价值。
(1)Gordan引理
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(2)FritzJohn定理
设X*是NLP问题的局部最优点,函数f(X)和gj(X)(j=1,…,l)在X*处有连续一阶偏导数,则必存在不全为零的数u0,u1,…,ul,使
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该定理给出了非线性规划的(局部)最优点应满足的必要条件。这个条件称为FritzJohn条件,满足这个条件的点称为FritzJohn点。
如果u0=0,▽f(X*)就从式中消去,说明在所讨论的点X*处,起作用约束的梯度线性相关。这时FritzJohn条件失效。
为了保证u0>0,就需要对讨论点处起作用约束的梯度附近加上线性无关的条件,从而引出了K-T条件。
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Kuhn-Tucker条件:
若X*是NLP问题的局部极小点,且X*处的所有起作用约束梯度▽hi(X*)(i=1,2,…,m)和▽gj(X*)(j∈J)线性无关,则存在向量Γ=(γ1*,γ1*,…,γm*)T和M*=(u1*,u2*,…,ul*)T使下述条件成立:
γ1*,γ1*,…,γm*和u1*,u2*,…,ul*称为广义拉格朗日(Lagrange)乘子。
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依次类推。