文档介绍：同角三角函数关系
课堂导学
三点剖析
【例1】已知sinθ-cosθ=,则sin3θ-cos3θ=__________________.
思路分析:把sin3θ-cos3θ变形凑出含有sinθ-cosθ的代数式代入求值.
解析:∵sinθ-cosθ=,
∴(sinθ-cosθ)2=.
∴1-2sinθcosθ=.
∴sinθ·cosθ=.
∴sin3θ-cos3θ
=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)
=·(1+)=.
答案:
温馨提示
若已知sinα-cosα与sinα+cosα其中一个条件,求sin2α·cos2 α,sin3α±cos3α时,常用凑出sinα·cosα与sinα±cosα的关系来变化.
【例2】已知cosα=,求sinα及tanα的值.
思路分析:用同角三角函数关系解题.
解:∵cosα<0,且cosα≠-1
∴α是第二或第三象限角.
如果α是第二象限角,那么
sinα=.
tanα==×(-)=.
如果α是第三象限角,那么
sinα=-,tan α=.
温馨提示
(1)要会用公式sin2α+cos2α=1的变形
sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值,但没有指定角所在的象限,要求另外两个三角函数值时,可按角所在象限分别进行讨论,进行运算,这时有两组结果,本题就属这种类型.
【例3】求证:.
思路分析1:注意到已给等式中含有正弦与余弦,因此采用正、余弦基本关系证明.
证法1:左边=
=
=
==右边.
∴原式成立.
思路分析2:注意到欲证式中只含有一个角θ的函数,因此可用三角函数定义证明.
证法2:设P(x,y)是象限角θ终边上一点,|OP|=r>0,则由三角函数的定义知:
sinθ=,cosθ=,且x2+y2=r2.
所以,左式=
=
==右式.
故原式成立.
思路分析3:考虑到A=BA-B=0,故此题可采用比较法.
证法3:因为-=
=,
所以.
“1”的变换
【例4】已知tanα=2,求sin2α-3sinαcosα+1的值.
思路分析:主要应用“1”的变换.
解:sin2α-3sinαcosα+1
=sin2α-3sinαcosα+(sin2α+cos2α)
=2sin2α-3sinαcosα+cos2 α
=.
温馨提示
已知tanα的值,求形如asin2α+os2α的值,可将分母1化为1=sin2α+cos2α代入,从而转化为关于tanα的表达式后再求值.
各个击破
类题演练1
已知=-1,求值.
.
解析:由已知,tan α=,所以,
变式提升1
已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα,cosα.
解:∵sin2 α+cos2 α=1,
∴sin2α=1-cos2α.
又∵=tanα,
∴tan2α=.
于是=1+tan2α cos2α=.
由于tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,
从而cosα=
sinα=cosαtanα
=
类题演练2
已知sinθ+cosθ