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一、几个重要的结论
(一)函数图象本身的对称性(自身对称)
1、函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)(T为常数)的充要条件是yf(x)的图象关于直线xT对称。
2、函数yf(x)满足f(x)f(2Tx)(T为常数)的充要条件是yf(x)的图象关于直线xT对称。
3、函数yf(x)满足f(ax)f(bx)的充要条件是yf(x)图象关于直线
(ax)(bx)ab
x
22对称。
4、如果函数yf(x)满足f(T1x)fT1x)且fT2x)fT2x),(T1和T2是不相等的常数),贝Uyf(x)是以为2(T2T1)为周期的周期函数。
5、如果奇函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)(T°),则函数yf(x)是以
4T为周期的周期性函数。
6、如果偶函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)(T°),则函数yf(x)是以
2T为周期的周期性函数。
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、曲线yf(x)与yf(x)关于x轴对称。
2、曲线yf(x)与yf(x)关于丫轴对称。
3、曲线yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。
4、曲线f(x,y)0关于直线Xb对称曲线为f(x,2by)0。
5、曲线f(x,y)0关于直线xyc0对称曲线为f(yc,xc)0。
6、曲线f(x,y)0关于直线xyc0对称曲线为f(yc,xc)0。
7、曲线f(x,y)0关于点P(a,b)对称曲线为f(2ax,2by)°。二、试试看,练练笔
1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f1x)f1x),且x(h0)时,
f(x)2x
1
5,则f(空20).
2、已知函数yf(x)满足f(x)f(2x)则yf(x)图象关于对
称。
3、函数y二f(x-1)与函数y二f(1一劝的图象关于关于对称。
4、设函数y二f(x)的定义域为R,且满足f(x-1)二f(1-x),则y二f(x)的图象关
于对称。
5、设函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=f(1_x),则y=f(x+1)的图
象关于对称。y二f(x)图象关于对称。
6、设y二f(x)的定义域为R,且对任意xGR,有f(1—2x)二f(2x),则y二f(2x)
图象关于对称,y二f(x)关于对称。
7、已知函数y二f(x)对一切实数x满足f(2_x)二f(4+x),且方程f(x)二0有5
个实根,则这5个实根之和为()
A、5B、10C、15D、18
8、设函数y二f(x)的定义域为R,则下列命题中,①若y二f(x)是偶函数,则
y二f(x+2)图象关于y轴对称;②若y二f(x+2)是偶函数,则y二f(x)图象关于直线x=2对称;③若f(x-2)=f(2_x),则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称;④y二f(x-2)与y二f(2-x)图象关于直线x=2对称,其中正确命题序号为。
9、函数y二f(x)定义域为R,且恒满足f(x+2)二f(2—x)和f(6+x)二f(6-x),当
1
f(x)=2一x
2-x-6时,2,求f(x)解析式。
10、已知偶函数y二f(x)定义域为R,且恒满足f(x+2)二f(2-x),若方程f(x)二0在b,4】上只有三个实根,且一个根是4,求方程在区间(-8,1°]中的根.
附参考答案:
1:
(1,0)T3
T4:y轴即x=0T5:①y轴②x=1
11
-rx=x=
6:①4②2
T7:CT8:②④
1
—(x一8k)(8k一2-x-8k+2,kgZ)f(x)={2]
9:
—(x—8k)+2(8k+2—x—8k+6,kgZ)、2
10:方程的根为
-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10
共9个根.