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函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点,现在全部解析如下:、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、周期性:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数t,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义(略),请用图形来理解。
3、对称性:
我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式f(-x)=f(x)
奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)+f(-x)=0
上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的
探讨:(1)函数y=f(x)关于x二a对称Of(a+x)=f(a-x)
f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)
简证:设点(x,yi)在y=f(x)上,通过f(x)=f(2a-x)可知,=f()=f(2a-x),即点(2a-x,y^)也在y=f(x)上,而点(x,y^)与点
(2a-xi'yi)关于x=a对称。得证。
若写成:f(a+x)=f(b-x),函数y=f(x)关于直线x=
(a+x)+(b-x)
2
a+b
2
对称
(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称Of(a+x)+f(a-x)=2b
上述关系也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b
简证:设点(x,yi)在y=f(x)上,即y^=f(x),通过f(2a-x)+f(x)=2b可知,f(2a-x)+f(x)=2b,所以f(2a-x)=2b-f(x)=2b-y,所以点
11111
(2a-x,2b-y)也在y=f(x)上,而点(2a-x,2b-y)与(x,y)关于(a,b)对
111111
称。得证。
a+bc
若写成:f(a+x)+f(b—x)=c,函数y=f(x)关于点(一q,㊁)对称
(3)函数y=f(x)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于y=b对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于y=b对称,比如圆c(x,y)二x2+y2—4二0它会关于y=0对称。
4、周期性:
(1)函数y=f(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为2T
A、f(x+T)=-f(x)
B、f(x+T)=丄f(x)
或f(x+T)二-
1
f(x)
C、f(x+4)=需或f(x+1)=冷(等式右边加负号亦成立)
41-f(x)41+f(x)
D、其他情形
(2)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),则可推出
f(x)=f(2a-x)=f[b+(2a-x-b)]=f[b-(2a-x-b)]=f[x+2(b-a)]即可以得到y=f(x)的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于
x轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”
(3)如果奇函数满足f(x+T)=-f(x)则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为
x=彳+2kT(kez),根据f(x)=f(x+2T)可以找出其对称中心为
2
(kT,0)(kez)(以上T丰0)
如果偶函数满足f(x+T)=-f(x)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心
为(£+2kT,0)(kez),根据f(x)=f(x+2T)可以推出对称轴为
x=T+2kT(kez)(以上T丰0)
(4)如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)("0),则函数y=f(x)是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T丰0),则函数y=f(x)是以2T为周期的周期性函数。
、两个函数的图象对称性
1、y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。
换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=-g(x),即它们关于y=0对称。
2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。
换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(-x),即它们关于x=0对称。
3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。
换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(2a-x),即它们关于x=a对称。
4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。
换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(x)=2a,即它们关于y=a对称。
5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。
换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(2a-x)=2b,即它们关于点(a,b)对称。
6、y=f(a-x)与y=(x-b)关于直线x=上^对称。