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如果函数y=f(x)对于一切xWR,都有f(a+x)=f(a-x)(Of(2a-x)=f(x)),
那么函数y=f(x)的图像关于直线x二a对称Oy=f(x+a)是偶函数
如果函数y=f(x)对于一切x£R,都有f(a+x)=f(b-x)成立,那么函数y=f(x)的图
亠,,a+b(a+x)+(b-x)」、,
像关于直线x=2(由x=2确定)对称
如果函数y=f(x)对于一切xGR,都有f(a+x)+f(a-x)=2b成立,那么函数
y=f(x)的图像关于点(a,b)对称
两个函数图像之间的对称性
(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于直线x二0(即y轴)对称;函数y=f(x)
与函数y=-f(x)的图像关于直线y=0;函数y=f(x)与函数y=-f(-x)图像关于坐
标原点对称。
(2)函数y=f(a+x),y=f(b-x),的图像关于直线x=
a-b
—(由a+x二b-x确定)对
A
(3)函数y=f(x)与函数y=A-f(x)的图像关于直线y=y对称(由f(x)]+LA-f(x)]
y=-—确定
(4)函数y=f(x)与函数y=m-f(n-x)的图像关于点(£,y)中心对称
左加右减(对一个x而言),上加下减(对解析式而言):若将函数y=f(x)的图像右移
a、上移b个单位,得到函数y=f(x-a)+b的图像;若将曲线f(x,y)=0的图像右移a、
上移b个单位,得到曲线f(x-a,y-b)=0的图像
6•函数f(x+a)(a>0)的图像是把y=f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到的;函数f(x+a)(a<0)的图像是把y=f(x)的图像沿x轴向右平移|a|个单位得到的;函数
a-b
y=f(wx+a)的图像是把y=f(wx+b)的图像沿x轴向左平移个单位得到的
w
7•定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时,
都有f(x+T)=f(x),则f(x)的最小正周期为T,T为这个函数的一个周期
如果函数f(x)是R上的奇函数,且最小正周期为T,那么f(—)=f(-—)=0
如果函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期,如果函数f(x)的最小正周期为T则函数f(ax)的最小正周期为石,如果
y=f(x)是周期函数,那么y=f(x)的定义域无界
关于函数的周期性的几个重要性质:
(1)如果y=f(x)是R上的周期函数,且一个周期为T,那么f(x±nT)=f(x)(neZ)
2)
3)
4)
函数图像关于x=a,x=b轴对称nT=2(a-b)
函数图像关于C,0)(b,0)中心对称nT=2(a-b)
函数图像关于x二a轴对称,关于(b,0)中心对称nT=4(a-b)
f(x+a)=、(f(x)丰0)或f(x+a)=—-^(f(x)丰0)或f(x+a)=f(x)或f(x)f(x)
2+pf(x)-f2(x)=f(x+a),(f(x)e[o,l]),则f(x)的周期T=2a
6)
f(x+a)=1,(f(x)丰1),则f(x)的周期T=3a
l-f(x)
(7)f(x+a)=1+f(x)则f(x)的周期T=4a;
1-f(x)
8)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)
二f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则f(x)的周期T=5a;
(9)f(x+a)=f(x)-f(x-a),则f(x)的周期T=6a