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在已知条件f(a+x)=f(b-x)或
f(x+a)=f(x-b)中,
(1)等式两端的两自变量部分相加得常数,如(a+x)+(b-x)二a+b,说明f(x)的图
像具有对称性
其对称轴为x=
f(x)+1f(x)-1
(6)f(x+a)
(7)
f(x+a)
1-f(x)
1+f(x)
(8)
f(x+a)
1-f(x)
1+f(x)
nT=4a
(9)
f(x+a)
1+f(x)
1-f(x)
nT=4a
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数,女口(x+a)-(x-b)=a+b,说明f(x)的图像具有周期性,其周期T=a+b。
设a为非零常数,若对于f(x)定义域内的任意x恒有下列条件之一成立
(1)f(x-a)=f(x+a)
nT=2a
(1)f(a+x)=f(a-x)
nx=a
(2)f(x)=f(x+a)
nT=a
(2)f(a+x)=f(b-x)
a+b
nx=
2
(3)f(x+a)=-f(x)
nT=2a
(3)f(a-x)=f(b+x)
a+b
nx=
2
(4)f(x+a)=/、
f(x)
nT=2a
(4)f(a+x)=-f(b-x)
n点("+b,0)中心
2
(5)f(x+a)=、
nT=2a
(5)f(a+x)=-f(a-x)
n点(a,0)为对称中心
周期性规律
对称性规律
nT=2a
(10)f(x)=f(x-a)+f(x+a),a>0nT=6a
若函数f(x)同时关于直线x二a,x二b对称则函数f(x)的周期T=2b-a|
若函数f(x)同时关于点(a,0),(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2b-a|
若函数f(x)同时关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称(b丰0)则函数f(x)的周期T=4b-a|
若偶函数y=fx)的图像关于直线x=a对称,则fx)为周期函数且T=2|a
若奇函数y=fx)的图像关于直线x=a对称,则fx)为周期函数且T=4|a
T
若奇函数y=fx)满足fx+T)=fx)(xWR,THO),则f(-)=•若y=f(2x)的图象关于
两类易混淆的函数问题:对称性与周期性
=f(x)(xWR)满足f(5+x)=f(5—x),问:y=f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?
=f(x)(x£R)满足f(x+5)=f(x—5),问:y=f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?
定理1:如果函数y=f(x)(xWR)满足f(a+x)=f(a一x),那么y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
证明:设点PC。?yo)是y=ff)的图像上任一点,点P关于直线易知,点Q的坐标为?2a-xo,y。)。
因为点pC,y)在y=f(x)的图像上,所以f(x)=y
0000
x=a
的对称点为Q,
于是f(2a-x)=fla+(a-x)]=fla-(a-x)]=f(x)=y
00000所以点qGq—x,y)也在y=f(x)的图像上。
00
由P点的任意性知,y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
定理2:a如果函数y=f(x)(xWR)满足f(a+x)=f(b—x),那么y=f(x)的图像关于直线x=}的对称。
定理3:如果函数y=f(x)(x^R)满足f(x+a)=f(x—a),那么y=f(x)是以2a为周期的周期函数。
证明:令x一a=x',则x=x'+a,x+a=x'+2a代入已知条件f(x+a)=f(x-a)得:f(x'+2a)+f(x')
根据周期函数的定义知,y=f(x)是以2a为周期的周期函数。
定理4:如果函数y=f(x)(x^R)满足f(x+a)=f(x一b),那么y=f(x)是以a+b为周期的周期函数。