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人教版七年级数学下册知识点归纳汇编
第五章相交线与平行线
一、相交线两条直线相交,形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,
另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两
条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
①邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻
补角。如:∠1、∠2。
②对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角
的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角。如:∠1、
∠3。
③对顶角相等。
二、垂线
:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。
:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的
垂线。
:两条垂线的交点叫垂足。
:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。连接
直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所
截形成8个角。:.
:(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧)在两条直线的上方,又在直线
EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:∠1和∠5。
:(在两条直线内部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,又在直线EF的
两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。如:∠3和∠5。
:(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直线EF
的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如:∠3和∠6。
(一)平行线
:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。a∥b(在同一平面内,不相交
的两条直线叫做平行线。)
:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
:平行于同一直线的两条直线互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c
(二)平行线的判定:
,如果同位角相等,那么这两条直线平行。(同位角相等,两
直线平行)
,如果内错角相等,那么这两条直线平行。(内错角相等,两
直线平行)
,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。(同旁内角
互补,两直线平行)
推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
(一)平行线的性质:.
,同位角相等。(两直线平行,同位角相等)
,内错角相等。(两直线平行,内错角相等)
,同旁内角互补。(两直线平行,同旁内角相等)
(二)命题、定理、证明
:判断一件事情的语句,叫做命题。
:每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果„„,那么„„”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。,题设成立,结论一定成立。
,题设成立,不能保证结论一定成立。
:经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)
:推理的过程叫做证明。
:平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做
平移变换(简称平移),平移不改变物体的形状和大小。
①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小
完全相同。
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点。连接各组
对应点的线段平行且相等。:.
第六章实数
1、平方根
(1)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,:
如果x2a,那么x叫做a的平方根.
(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,
必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:3的平方等于9,9的平方根是3
(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;
0的平方根是0.
(5)符号:正数a的正的平方根可用a表示,a也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用-a表示.
(6)x2a<—>xa
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2a,那么这
,读作“根号
a”,a叫做被开方数.
规定:0的算术平方根是0.
也就是,在等式x2a(x≥0)中,规定xa。
(2)a的结果有两种情况:当a是完全平方数时,a是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,a是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)x2a(x≥0)<—>xa
a是x的平方x的平方是a
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。:.
a(a0)a0
aa2;注意a的双重非负性:
-a(a<0)a0
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根
的相反数。
(1)立方根的定义:如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三次
方根),即如果x3a,那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的
运算,叫做开立方。
3a
(2)一个数a的立方根,记作,读作:“三次根号a”,
其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
(3)一个正数有一个正的立方根;
0有一个立方根,是它本身;
一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关
系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反
数,即3a3aa0。
(5)x3a<—>x3a
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
(6)3a3a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。:.
一、实数的概念及分类
无理数:像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环
小数又叫无理数。
实数:有理数和无理数统称实数。
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数或无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
正实数
实数0
负实数
整数包括正整数、零、负整数。零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如7,32等;
π
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
3
(3)有特定结构的数,…等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的
相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如
果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
数a的相反数是—a,这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它
本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝
对值是0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而
小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。:.
:
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点
来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字
起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做a10n的形式,其中1a10,n是整数,这种记数法叫做科学记数
法。
四、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。解
题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,
ab0ab,
ab0ab,
ab0abaaa
(3)求商比较法:设a、b1ab;1ab;1ab;
是两正实数,
bbb
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则abab。
(5)平方法:设a、b是两负实数,则a2b2ab。
五、实数的运算
1、加法交换律abba
2、加法结合律(ab)ca(bc)
3、乘法交换律abba
4、乘法结合律(ab)ca(bc)
5、乘法对加法的分配律a(bc)abac
6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?
实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级
运算。同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才
算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺:.
序进行。
7、有理数除法运算法则就什么?
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:第一,除以一个不等于零的数,等于乘以
这个数的倒数;第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零除以任何一个不为
零的数,商都是零。
8、什么叫有理数的乘方?幂?底数?指数?
相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。
记作:an
9、有理数乘方运算的法则是什么?
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都
是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?
去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内
的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号
内式子相应各项的符号相反。:.
第七章平面直角坐标系
(一)有序数对
:用两个数来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的意义,我们把
这种有顺序的两个数组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b)
:数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示,这个数(或数对)叫做这个点的坐标。
(二)平面直角坐标系
:在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴。这样我们就说在平
面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。
:水平的数轴叫X轴或横轴。向右方向为正方向。
:竖直的数轴叫Y轴或纵轴。向上方向为正方向。
:两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
对应关系:平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
坐标:对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,
对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
(三)象限
:X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分,也叫四个象限。右上面的叫做第一象限,
其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、
纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般,在x轴和y轴取相同的单位长度。:.
:
1、特殊位置的点的坐标的特点:
(1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
(2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
(3)在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;
如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
2、点到轴及原点的距离:
点到x轴的距离为|y|;
点到y轴的距离为|x|;
点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号;
3、三大规律
(1)平移规律:
点的平移规律左右平移→纵坐标不变,横坐标左减右加;
上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点
(2)对称规律
关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数;
关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变;
关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。:.
(3)位置规律
各象限点的坐标符号:(注意:坐标轴上的点不属于任何一个象限)
假设在平面直角坐标系上有一点P(a,b)
,有a>0,b>0(横、纵坐标都大于0)
,有a<0,b>0(横坐标小于0,
纵坐标大于0)
第二象限第一象限
,有a<0,b<0(横、纵坐标都小于0)
(—,+)(+,,有a>0,b<0(横坐标大于0,纵
+)
坐标小于0)
,有b=0(横轴上点的纵坐标为0)
,有a=0(纵轴上点的横坐标为0)
,有a=b=0(原点上点的横、纵坐
第三象限第四象限标都为0)
(—,—)(+,—)
(一)用坐标表示地理位置的过程:
,选择一个合适的参照点为原点,确定X轴和Y轴的正方向。
,在坐标轴上标出单位长度。
,写出各点的坐标和各个地点的名称。
(二)用坐标表示平移
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新
图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数
a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度。:.
第八章二元一次方程组
:含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1,这样的整式方
程叫做二元一次方程。
:有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含
未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组
的解。
二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
——解二元一次方程组
二元一次方程组有两种解法:一种是代入消元法,一种是加减消元法.
:把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示
出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解。
:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两
边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程。
实际应用:审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。
关键:找等量关系
常见的类型有:分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
顺流逆流公式:v逆v静v水
v顺v静v水
:.
三元一次方程组:方程组含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且
一共有三个方程组,像这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的基本思路:通过“代入”或“加减”进行消元。把“三元”化为“二元”,使解
三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程。:.
第九章不等式与不等式组
一、不等式及其解集
:用不等号(包括:>、、、<、≠)表示大小关系的式子。
:使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。
:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
二、不等式的性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。如果a>b,那么
a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:不等式的两边同乘(除以)同一个正数,不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)
同一个负数,不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法则)
性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(不等式的加法法则)
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.(可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,<n<1时也成立.(乘方法则)
:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式。
:
步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为一;
注意:去分母与系数化为一要特别小心,因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数,要考:.
虑不等号的方向是否发生改变的问题。
:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成
了一个一元一次不等式组。
:几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式组的解集。解
不等式组就是求它的解集。
:先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以
直观地表示不等式的解集。
解一元一次不等式组的一般方法:
以两条不等式组成的不等式组为例,
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解
集,此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解
集,此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等
式的解集,此时一般表示为a<x<b,或a≤x≤b。此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。此乃
“向背取空”:.
不等式组的解集的确定方法(a>b):
不等式组在数轴上表示的解集解集口诀
x>a
x>a同大取大;
ba
x>b
x<a
x<b同小取小;
ba
x<b
x<a
b<x<a相交取中;
ba
x>b
x>a
ba空集向背取空。
x<b:.
第十章数据的收集、整理与描述
全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
总体:要考察的全体对象称为总体。
个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本:被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。
频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率:频数与数据总数的比为频率。
组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一
组两个端点的差叫做组距。
1、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。
(1)通过调查收集数据的一般步骤:
①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论
(2)收集数据常用的方法:①民意调查:如投票选举②实地调查:如现场进行观察、收集、
统计数据③媒体调查:报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。
2、数据的表示方法:
(1)统计表:直观地反映数据的分布规律(2)折线图:反映数据的变化趋势
(3)条形图:反映每个项目的具体数据(4)扇形图:反映各部分在总体中所占的百分比
(5)频数分布直方图:直观形象地反映频数分布情况6)频数分布折线图:在频数分布直
方图的基础上,取每一个长方形上边的中点,和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点
3、调查方式:(1)全面调查,优点是可靠,、真实;(2)抽样调查,优点是省时、省力,减:.
少破坏性;随机抽样调查具有广泛性和代表性。。
4、总体和样本:(1)总体:要考察的所有对象(2)个体:组成总体的每一个考察对象
(3)样本:从总体中抽出的所有实际被调查的对象组成一个样本。
(4)样本容量:样本中给个体的数目
5、组距:每个小组两个端点之间的距离
6、画直方图的一般步骤:
(1)计算最大值与最小值的差;
(2)决定组距与组数,先根据数据个数确定组距,再计算组数,
注意无论整除与否,组数总是比商的整数位数多1;
(3)确定分点,并分组;
(4)列频数分布表;
(5)绘制频数分布直方图