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2021-2022学年上期高一期中数学试卷(答案)
一、选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题只有一个正确选项)
,则()
A. B. C. D.
【答案】B
,,则的大小关系是()
A B. C. D.
【答案】B
,则()
A. B. C. D.
【答案】B
()
A. B.
C. D.
【答案】D
“,”为真命题的
【答案】A
()
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A. B. C. D.
【答案】C
,那么函数的最小值是()
【答案】B
;1637年笛卡尔开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数,,,则的值约为()
【答案】A
【分析】
由可得,进而将条件代入求解即可.
【详解】,,
故选:A
二、多选题:本大题共4个小题,每小题5分,,,有选错的得0分,部分选对的得2分.
(x)=cos,则下列结论正确的是( )
(x)的一个周期为2π
=f(x)的图象关于直线x=π对称
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(x)的一个零点为x=
(x)在上单调递减
答案 AC
10、设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是( )
(x1+x2)=f(x1)·f(x2) (x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C. <0 <
,则()
(0,1)上单调递增 (1,2)上单调递增
=1对称
,当时,,则下列结论正确的是()
(,)
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D.,
三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
:=_________________.
【答案】
【详解】原式=
14一个扇形的面积为1,周长为4,求该扇形圆心角的弧度数.
【解析】 设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角为α,
则2R+l=4.①
由扇形的面积公式S=lR,得lR=1.②
由①②得R=1,l=2,∴α==2rad.
∴扇形的圆心角为2rad.
15、已知函数,若正实数,,互不相等,且(a)(b)(c),则的取值范围为 .
,若,则实数m的取值范围为________.
【答案】
【详解】由题意,原不等式可化为,
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因为是奇函数,所以,
因为是定义在上的减函数,则满足,解得,
即实数m的取值范围是.
故答案为:.
四、解答题(本大题共6小题,第17题10分,其它各题每题12分,共70分)
17.(1)计算:;
(2)计算:
.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)原式
.
,集合.
(1)求;
(2)设集合,且,求实数的取值范围.
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【解答】解:(1)集合,集合.
,
.
(2)集合,且,
,
,解得
实数的取值范围是,.
19.(本大题满分12分)
已知.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
,则称
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为“类对数型”函数.
(1)证明:为“类对数型”函数;
(2)若为“类对数型”函数,求的值.
【答案】(1)见解析(2)4039
【详解】(1)证明:
成立,
所以为“类对数型”函数;
(2)
令,有∴.
令,则有,
.
21、设函数f(x)=sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.
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解 (1)最小正周期T==π,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)令t=2x-,则由≤x≤可得0≤t≤,
所以当t=,即x=时,ymin=×=-1,
当t=,即x=时,ymax=×1=.
(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
解:(1)若函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,
所以log2(1+a)=0,所以a=0.
当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数.
所以a=0.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,则+a>0恒成立.
即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),
故只要a≥0,则a的取值范围是[0,+∞).
(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.
由题设得log2(1+a)-log2≥2,
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则log2(1+a)≥log2(4a+2).
所以解得-<a≤-.
故实数a的取值范围是.
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