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线面垂直习题精选完整版.docx

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经过计算,运用勾股定理追求线线垂直
1如图1,在正方体ABCDA1BC1
1D1中,M为CC1的中点,AC交BD于点O,求证:AO1
平面MBD.
证明:连接MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1A
AC
A,
∴DB⊥平面A1ACC1,而AO1
平面A1ACC1
∴DB⊥AO1.
设正方体棱长为a,那么A1O2
3a2
,MO2
3a2
.
2
4
在Rt△AC1
1M中,A1M29a2
.∵AO2
MO2
AM2
,∴AO1OM.∵OM
4
1
1
∩DB=O,∴AO1
⊥平面MBD.
评注:在证明垂直关系时,有时能够利用棱长、角度大小等数据,经过计算来证明.
利用面面垂直追求线面垂直
如图2,P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥:BC⊥平面PAC.
证明:在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.
因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC,
AD平面PAC,且AD⊥PC,由面面垂直的性质,得AD⊥∵BC平面PBC,
AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.
AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
〔此外还可证
BC分别与订交直线AD,AC垂直,进而获得
BC⊥平面PAC〕.
评注:条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条归入一个平面中,
使另一条直线与该平面垂直,,高一级的垂直关系中包含着低
一级的垂直关系,经过本题能够看到,面面垂直
线面垂直
线线垂直.
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转变为线面垂直来剖析解决,其关系为:线线垂直
判断
线面垂直
判断
性质

性质
之间的关系特别亲密,能够相互转变,以前面推出后边是判断定理,
.
ABCD
SB,SC,SD
E,F,G
3如图1所示,
ABCD

.求证:
AESB,
为正方形,SA⊥平面
,过A且垂直于SC的平面分别交
AGSD.
证明:∵
SA
平面
ABCD
,
∴SA
BC.∵AB
BC,∴BC
平面
.又∵AE
平面
,∴BC
AE.∵SC平面
,∴SCAE.∴
SAB
SAB
AEFG
AE平面SBC.∴AE

SD.
评注:本题欲证线线垂直,可转变为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转变中,平面起到了重点作用,同学们应多注意考虑线和线所
在平面的特点,进而顺利实现证明所需要的转变.
如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥:AH⊥:取AB的中点F,连接CF,DF.
∵AC
BC,∴CF
AB.
∵AD
BD,∴DF
AB.
CDF

CF
DF
F
,∴
AB
平面
CD
CD
.

平面
CDF
AB
.
,∴
又CD
BE,BE
AB
B,

CD
平面
ABE
CD
AH
.
,
∵AH
CD,AH
BE,CD
BEE,
∴AH
平面BCD.
评注:本题在运用判断定理证明线面垂直时,将问题转变为证明线线垂直;而证明线线垂直时,,直
到证得结论.
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5
如图3,
AB
是圆
O
的直径,
C
是圆周上一点,
PA
ABC
AEPC
,
E
为垂足,
F

PB
AEF


上任意一点,求证:平面
⊥平

.
PBC
证明:∵AB是圆O的直径,∴ACBC.
∵PA
平面ABC,BC
平面ABC,

PA
BC
.∴
BC
APC
平面.
BC平面PBC,∴平面APC⊥平面PBC.
AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,
∴AE⊥平面PBC.

AE
平面
,∴平面
⊥平面
.
AEF
AEF
PBC
评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中找寻平面的垂线,
即证线面垂直,而证线面垂直那么需
从条件出发找寻线线垂直的关系.
空间四边形ABCD中,假定AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD
A
D
B
O
C
证明:过A作AO⊥平面BCD于O
ABCD,CD
BO同理BC⊥DO
∴O为△ABC的垂心
于是BDCOBDAC
:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
D1
C1
A1
B1
DC
AB
证明:连接AC
BDAC
AC为A1C在平面AC上的射影
BDA1C
A1C平面BC1D
同理可证A1CBC1
,PA平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点,求证:MNAB
P
N
DC
AMB
EN
//1
DC
.证:取PD中点E,那么
2
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P
EN
DC
AMB
EN//AM
AE//MN

CDAD
CDAE
CD//ABMNAB
PA
CD
平面PAD
平面AC
平面PAD
AE//MN
AE
9如图在ABC中,AD⊥BC,ED=2AE,过E作FG∥BC,且将AFG沿FG折起,使∠A'ED=60°,求证:A'E⊥平面A'BC
剖析:
弄清折叠前后,图形中各元素之间的数目关系和地点关系。
解:
FG∥BC,AD⊥BC
A'E⊥FG
A'E⊥BC
设A'E=a,那么ED=2a
由余弦定理得:
222
A'D=A'E+ED-2?A'E?EDcos60°

A'
C
G
D
A
E
B
F
=3a
2
∴ED2=A'D2+A'E2
∴A'D⊥A'E
∴A'E⊥平面A'BC
10如图,在空间四边形SABC中,SA平面ABC,
ABC=90,AN
SB于N,AM
SC于M。求证:①ANBC;②SC平面ANM
剖析:
①要证ANBC,转证,BC
平面SAB。
②要证SC平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条订交直线,即证SCAM,SCAN。要证SCAN,转证AN
平面SBC,便可
以了。
证明:
①∵SA平面ABC
∴SABC
又∵BC
AB,且AB
SA=A
∴BC平面SAB
∵AN
平面SAB
∴ANBC
②∵AN
BC,ANSB,且SB
BC=B
∴AN平面SBC
∵SCC平面SBC
∴ANSC
又∵AM
SC,且AM
AN=A
∴SC平面ANM
11如图,P
平面ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90°求证:平面ABC⊥平面PBC
剖析:要证明面面垂直,只需在其呈平面内找一条线,而后证明直线与另一平面垂直即可。明显
BC中点D,证明AD垂直平PBC即可
证明:取BC中点D
连接AD、PD
∵PA=PB;∠APB=60°
∴ΔPAB为正三角形
同理
PAC为正三角形
设PA=a
在RTBPC中,PB=PC=a
BC=
2a
∴PD=2a

ABC中AD=AB2
BD2
2
2
2
=
2
a∵AD2+PD2=
2a
2a
=a
2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即
AD⊥DP又∵AD⊥BC
2
2
2
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AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面PBC
13以AB为直径的圆在平面
内,PA
于A,C在圆上,连PB、PC过A作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,试判断图中还有几组线面垂
直。
P
E
F
A
B
C
解:
PA
BC
PA
面PAC
BC
BC
AF
BC
AB为直径AC
BCAF
面PAC
AF
PC
AF
PB
PB
AF面PBC
AE
PB
面AEF
[例1]如图9—39,过S引三条长度相等但不共面的线段
SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥
平面BSC.
【证明】∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC
取BC的中点O,连AO、SO,
那么AO⊥BC,SO⊥BC,
2
∴∠AOS为二面角的平面角,设
SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=
2a,SO=
2a,
1
1
AO2=AC2-OC2=a2-2a2=2a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,进而平面ABC⊥平面BSC.
【评论】要证两平面垂直,.
[例2]如图9—40,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
图9—40
〔1〕求证:AB⊥BC;〔2〕假定设二面角S—BC—A为45°,SA=BC,求二面角A—SC—B的大小.
〔1〕【证明】作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影为SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.
〔2〕【解】∵SA⊥平面ABC,∴平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB⊥平面SBC,∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角,∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a,
26
作AE⊥SC于E,连EH,那么EH⊥SC,∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角,而AH=2a,AC=2a,SC=3a,AE=3a
3
sin∠AEH=2,二面角A—SC—B为60°.【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法.
[例3]如图9—41,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.
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1〕求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小;〔2〕求证:平面MND⊥平面PCD
1〕【解】PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,
∴PD⊥CD,故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角,在
Rt△PAD中,PA=AD,
∴∠PDA=45°
1
〔2〕【证明】取PD中点E,连接EN,EA,那么EN
2CDAM,∴四边形ENMA是平行四边形,∴EA∥MN.
∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD,进而MN⊥平面PCD,∵MN
平面MND,∴平面MND⊥平面PCD.
【注】证明面面垂直往常是先证明线面垂直,本题中要证
MN⊥平面PCD较困难,转变为证明AE⊥,在
本题中,当AB的长度变化时,可求异面直线
PC与AD所成角的范围.
[例4]如图9—42,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.
图9—42
〔1〕求证:平面MNF⊥平面ENF.〔2〕求二面角M—EF—N的平面角的正切值.
〔1〕【证明】∵
M、N、E是中点,∴EB1B1NNC1
∴MNE90
即MN⊥EN,又NF⊥平面A1C1,MN
∴平面MNF⊥平面ENF.
〔2〕【解】过N作NH⊥EF于H,连接MH.∵MN⊥平面

C1M∴ENB1MNC145
平面A1C1∴MN⊥NF,进而MN⊥平面ENF.∵MN
平面MNF,
ENF,NH为MH在平面ENF内的射影,
2
3
∴由三垂线定理得MH⊥EF,∴∠MHN是二面角M—EF—△MNH中,求得MN=
2a,NH=
3a,
MN
6
6
∴tan∠MHN=NH
2,即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2.
[例5]在长方体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为
2的正方形,侧棱长为
3,E、F分别是AB1、CB1的中点,求证:
平面D1EF⊥平面AB1C.
【证明】如图9—43,∵E、F分别是AB1、CB1的中点,
图9—43∴EF∥AC.∵AB1=CB1,O为AC的中点.∴B1O⊥⊥△B1BO中,∵BB1=3,BO=1.
1
∴∠BB1O=30°,进而∠OB1D1=60°,又B1D1=2,B1O1=2OB1=1〔O1为BO与EF的交点〕
∴△D1B1O1是直角三角形,即B1O⊥D1O1,∴B1O⊥,∴平面D1EF⊥平面AB1C.
—A1B1C1D1中,∠BAD=60°,那么对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____.
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【解】过A1作A1G⊥C1D1于G,因为该平行六面体是直平行六面体,∴A1G⊥平面D1C,连接CG,∠A1CG即为A1C与侧面DCC1D1
所成的角.
3
∵A1G=A1D1·sin∠A1D1G=2sin60°=2·2=
3而
2
2
1
AC=AB2
BC2
2AB
BCcos120=
2
2
222(
2
)23
∴A1C=A1A2
AC2
4124,
A1G
3
3
∴sin∠A1CG=A1C4.【答案】
4
、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点,EF、BD订交于O,以EF为棱将正方形折成直二面角,那么∠
BOD=_____.
【分析】设正方形的边长为
2a.
2a2
2a2
6a2
1
那么DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2∴cos∠DOB=2
2a
2a
2
∴∠DOB=120°
—44,斜三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为
2,侧棱与底面成
3的角,侧面ABB1A1垂直于底面,
图9—44
〔1〕证明:B1C⊥C1A.〔2〕求四棱锥B—ACC1A1的体积.
〔1〕【证明】过
B1作B1O⊥AB于O,∵面ABB1A1⊥底面ABC,面ABB1A1
面ABC
AB∴B1O⊥面ABC,∴∠B1BA是侧棱
与底面所成角,∴∠
B1BA=3,又各棱长均为2,∴O为AB的中点,连CO,那么CO⊥AB,而OB1∩CO=O,
AB⊥平面B1OC,又B1C平面OB1C,∴B1C⊥AB,连BC1,∵BCC1B1为边长为2的菱形,∴B1C⊥BC1,而AB∩BC1=B,
∴B1C⊥面ABC1∵A1C面ABC1∴B1C⊥AC1
3
1
〔2〕【解】在Rt△BB1O中,BB1=2,BO=1,B1O=
3,V柱=Sh=4·4·
3=3,∴VBA1B1C1=3V柱=1,
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VBAA1C1C=V柱-VBA1B1C1=3-1=2
—45,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,PA⊥底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB.
图9—45
1〕求证:平面PCE⊥平面PCD;〔2〕求点A到平面PCE的距离.
1〕【证明】PA⊥平面ABCD,AD是PD在底面上的射影,
又∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD,∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角,
∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取Rt△PAD斜边PD的中点F,那么AF⊥PD,∵AF面PAD∴CD⊥AF,
又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD,取PC的中点G,连GF、AG、EG,那么GF

1
2

1
CD又AE2CD,
∴GFAE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG,∴EG⊥平面PDC又EG平面PEC,
∴平面PEC⊥平面PCD.
2〕【解】由〔1〕知AF∥平面PEC,平面PCD⊥平面PEC,过F作FH⊥PC于H,那么FH⊥平面PEC∴FH为F到平面PEC的距离,△PFH与△PCD中,∠P为公共角,
FH
PF
而∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD.∴CD
PC,设AD=2,∴PF=2,PC=PD2
CD2
8423,
2
2
6
6
∴FH=23
3∴A到平面PEC的距离为
3
.
—A1B1C1D1的底面是菱形,对角线
AC=2,BD=2
3,E、F分别为棱CC1、BB1上的点,且知足EC=BC=2FB.
图9—46
〔1〕求证:平面AEF⊥平面A1ACC1;〔2〕求异面直线EF、A1C1所成角的余弦值.
1
〔1〕【证明】∵菱形对角线AC=2,BD=23∴BC=2,EC=2,FB=1,取AE中点M,连接MF,设BD与AC交于点O,MO2EC
FB
平面AEF⊥平面ACC1A1
〔2〕在AA1上取点N,使AN=2,连接NE,那么NEACA1C1
故∠NEF为异面直线A1C1与EF所成的角,连接NF,在直角梯形NABF中易求得NF=5,同理求得EF=5.
3455
在△ENF中,cos∠NEF=2255

5
,即EF与A1C1所成角的余弦值为5.
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【解题指导】在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中找寻平面的垂线;假定没有这样的直线,那么可经过作协助线来解决,而作协助线那么应有理论依据而且要有益于证明,,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,“线线垂直〞“线面垂直〞“面面垂直〞间的转变条件和转变应用.
【拓展练****br/>一、备选题
,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
1〕求证:平面PAC⊥平面PBC;
2〕假定D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的双侧,试写出图中全部相互垂直的各对平面.
1〕【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点,AB是圆O的直径∴BC⊥AC;
又PA⊥平面ABC,BC平面ABC,
BC⊥PA,进而BC⊥平面PAC.
∵BC平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC.
〔2〕【解】平面PAC⊥平面ABCD;平面PAC⊥平面PBC;平面PAD⊥平面PBD;平面PAB⊥平面ABCD;平面PAD⊥平面ABCD.
1
—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为a,D,E分别是BB′,CC′上的一点,BD=2a,EC=a.
1〕求证:平面ADE⊥平面ACC′A′;
2〕求截面△ADE的面积.
1〕【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N,连接MN,那么MN∥A′A∥B′B,
∴B′、M、N、B共面,∵M为A′C′中点,B′C′=B′A′,∴B′M⊥A′C′,又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′∴B′M⊥平面A′ACC′.
设MN交AE于P,
a
CE=AC,∴PN=NA=2.
1
又DB=2a,∴PN=BD.
PN∥BD,∴PNBD是矩形,于是PD∥BN,BN∥B′M,
∴PD∥B′M.
B′M⊥平面ACC′A′,
PD⊥平面ACC′A′,而PD平面ADE,
∴平面ADE⊥平面ACC′A′.
〔2〕【解】∵PD⊥平面ACC′A′,
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3
PD⊥AE,而PD=B′M=2a,
AE=2a.
1
S△ADE=2×AE×PD
1
3a
6a2
2a
=2×
2
4.
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