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福建省龙岩第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题.pdf

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数学试题
满分:150分考试时间:120分钟
注意事项:
、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
“填涂样例”和“注意事项”.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、单项选择题:共8小题,每小题5分,,选出符合题目要
求的一项.

cos2x的最小正周期为()
3
A.B.
:xR,x22x10,则命题p的否定为()
A.xR,x22x10B.xR,x22x10
C.xR,x22x10D.xR,x22x10
的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点2,t,
若120,则t的值为()
A.23B.
,周长为,则该扇形的圆心角为()
1
A.B.C.D.
2
(x)是R上的减函数,a0,则下列不等式一定成立的是()
1
(a2)f(a)(a)f()(a)f(2a)(a2)f(a1)
a
试卷第1页,共4页
6."k,kZ"是"tantan"成立的()


1
(x)cosx(x)图象上所有的点向右平移个单位长度,所
2
得图象的函数解析式是()

cosxsinx
44
11
cos2xsin2x
44
,如果存在区间m,nI,同时满足下列两个条件:
①f(x)在区间m,n上是单调的;
②当定义域是m,n时,f(x)的值域也是m,n,则称m,n是函数yf(x)的一个“黄金区间”.
a2ax1
如果m,n可是函数y(a0)的一个“黄金区间”,则nm的最大值为()
a2x
323

33
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,,有多项符合题目要
,有选错的得0分,部分选对的得2分.
为第二象限角,则下列结论正确的是()
costan
costan0

sin2x说法正确的是()
3
5
k,k(kZ)
1212
2
,0对称
33
试卷第2页,共4页
,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家
哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界接受,
小融从家到学校往返的速度分別为a和b(0ab),其全程的平均速度为v,则下列选项正确的是
()
vab
ab2ab
v
2ab
kk
(x)sinxcosx,kN,下列说法正确的是()
,f(x)的最大值为1
2时,f(x)的值域中只有一个元素
3时,f(x)在(0,2)内只有一个零点
1
4时,f(x)的值域为,1
2
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
1
814lg200lg2=________.
2
f(x)的图像过点(2,),则f(16)____________.
2
(x)axb(a0,b0)在区间[1,2]上的最小值为3,则ab的最大值为_______.
2|lnx|,x0,
.已知函数若函数2(其中)
16f(x)2ya[f(x)](2a1)f(x)a2a0
x4x,x≤0.
有6个不同的零点,则实数a的取值范围是
四、解答题:本题共6小题,、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
2x+1
已知集合A={x|<1},B={x(x1)(2xm)0}.
x-1
(1)当m=1时,求A∪B;
(2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数m的取值范围.
试卷第3页,共4页
18.(本小题满分12分)
1
已知sin(π+α)cos(π-α)=,且0<α<π.
84
(1)求cosα+cos(π+α)的值;
2
(2)求tanα的值.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)log1(x2)log1(x2).
22
(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;

(2)求关于x的不等式f(x)log1(3x)的解集.
2
20.(本小题满分12分)
1
已知函数f(x)2sinxcosx.
62
(1)求函数fx的最小正周期;
(2)求函数fx在区间0,上的单调递增区间.
21.(本小题满分12分)
“金山银山,不如绿水青山”.某乡镇为创建“绿色家园”,决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木,已
知这种树木自栽种之日起,其生长规律为:树木的高度fx(单位:米)与生长年限x(单位:年)
41141
满足关系fx=x0,xN,树木栽种时的高度为米;1年后,树木的高度达到米.
13kxb228
(1)求fx的解析式;
(2)问从种植起,第几年树木生长最快?
22.(本小题满分12分)
对于定义在D上的函数f(x),如果存在实数x0,使得f(x0)=x0,那么称x0是函数f(x)
知f(x)=ax2+1.
(1)当a=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若函数f(x)有两个不动点x1,x2,且x1<2<x2.
①求实数a的取值范围;
②设g(x)=loga[f(x)-x],求证:g(x)在(a,+∞)上至少有两个不动点.
试卷第4页,共4页
龙岩一中2024届高一下第一次月考数学参考答案
1-5BDCCD6-
19
.2,4
44
2
aax1a11
8.【详解】由题意,y在,0和0,上均是增函数,而函数fx
a2xaa2x
在“黄金区间”[m,n]上单调,所以[m,n],0或[m,n]0,,且fx在[m,n]上单调递
fmma11
增,故,即m,n为方程的两个同号实数根,
2x
fnnaax
即方程a2x2a2ax10有两个同号的实数根,
12
因为,所以只需要22或,
mn20aa4a0a3a1
a
a2aa1
mn2222
aa2aa4114
又,所以nmmn4mn3,
122
mnaaa33
a2
23
则当a3时,n.
3
2x+1x+2
:(1)由<1,得<0,解得-2<x<1,所以A={x|-2<x<1}.
x-1x-1
当m=1时,B={x|(x-1)(2x+1)<0},
B={x|-<x<1}.··············································································3分
1
所以A∪2B={x|-2<x<1}.·································································4分

(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B-A.································6分
m
若->1,即m<-2,此时不符合题意,舍去;·········································7分
2
m
若-=1即m=-2时,B=,符合题意;············································8分
2
mmm
若-<1,则B={x|-<x<1},所以-2≤-<1,解得-2<m≤4.······9分
222
综上,m∈[-2,4].·········································································10分
答案第1页,共4页
11
:(1)因为sin(π+α)cos(π-α)=sinαcosα,且sin(π+α)cos(π-α)=,所以sinαcosα=2分
88
13
故(cosα-sinα)2=cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-2sinαcosα=1-2×=……....4分
84
π3
又因为0<α<,所以cosα>sinα,即cosα-sinα>0,所以cosα-sinα=.
42
3
所以cosα+cos(π+α)=cosα-sinα=.··················································6分
22
1sinαcosα1
(2)法一:由(1)知sinαcosα=,又因为sin2α+cos2α=1,所以=.
8sin2α+cos2α8
tanα1
因为0<α<π,cosα≠0,所以=,即tan2α-8tanα+1=0,……….9分
2
4tanα+18
解得tanα=4-15或tanα=4+15.·····················································10分
π
因为0<α<,所以0<tanα<1,所以tanα=4-15.……………………….12分
4
3
cosα-sinα=,
2
法二:由(1)知1
sinαcosα=.
8
3+5
cosα=,
4
因为<<π,所以>>,故分
0αcosαsinα0-3+510
4sinα=,
4
sinα
所以tanα==4-15.··································································12分
cosα
x20
:(1)由…………………..1分
x20
得函数f(x)的定义域为(2,),…………….4分
所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.………………5分
2
(2)由f(x)log1(x2)log1(x2)log1(x4),…………….6分
222
2
得log1(x4)≥log1(3x),…………….7分
22
2
因为ylog1x在(0,)是减函数,所以有0x43x,…………….9分
2
解得2x4,…………….11分

因此不等式f(x)log1(3x)的解集为{x|2x4}.…………….12分
2
答案第2页,共4页
311
:(1)f(x)2sinxcosxsinx…………….1分
222
31cos2x1
sin2x…………….3分
222
31
sin2xcos2xsin2x,…………….5分
226
2
所以fx的最小正周期T.…………….6分
2
11
(2)令z2x,x0,,则z,,…………….7分
666
11311
因为ysinz,z,的单调增区间是,,,,…………….9分
666226
311
由2x或2x,…………….10分
662266
5
得:0x或x,…………….11分
36
5
所以fx在0,内的单调递增区间为0,,,.…………….12分
36
1411
f(0)
213b2
:(1)由已知得,即,解得k1,b4,----4分
414141
f(1)
2813kb28
41
所以,f(x)x0,xN.--------------------------5分
13x4
4141823x3

(2)令xN,g(x)fx1fxx3x4.
131313x313x4
问题化为,当xN时,求函数g(x)的最大值.
823x38282

g(x)2x7x34123
而1x7x2x7x---------------------8分
3431334334
2727
741
当且仅当3x37x,即x,上式取等号,但xN,g3g4,------------------------10分
24
答:种植之日起,第3年与第4年树木生长最快.--------------------------12分
:(1)当a=-2时,f(x)=-2x2+1.
答案第3页,共4页
1
方程f(x)=x可化为2x2+x-1=0,解得x=-1或x=,
2
1
所以f(x)的不动点为-1和.·······························································2分
2
(2)①因为函数f(x)有两个不动点x1,x2,
2
所以方程f(x)=x,即ax-x+1=0的两个实数根为x1,x2,
2
记p(x)=ax-x+1,则p(x)的零点为x1和x2,
因为x1<2<x2,所以a·p(2)<0,
1
即a(4a-1)<0,解得0<a<.
4
1
所以实数a的取值范围为(0,).···························································6分
4
2
②因为g(x)=loga[f(x)-x]=loga(ax-x+1).
ax=ax2-x+1,
2
方程g(x)=x可化为loga(ax-x+1)=x,即
ax2-x+1>0.
1
因为0<a<,△=1-4a>0,所以p(x)=0有两个不相等的实数根.
4
设p(x)=ax2-x+1=0的两个实数根为m,n,不妨设m<n.
111
因为函数p(x)=ax2-x+1图象的对称轴为直线x=,p(1)=a>0,>1,p()=1>0,
2a2aa
11
所以1<m<<n<.
2aa
记h(x)=ax-(ax2-x+1),
因为h(1)=0,且p(1)=a>0,所以x=1是方程g(x)=x的实数根,
所以1是g(x)的一个不动点.·································································8分
h(n)=an-(an2-n+1)=an>0,
1111
因为0<a<,所以>4,h()=aa-1<a4-1<0,
4aa
1
且h(x)的图象在[n,]上的图象是不间断曲线,
a
1
所以x0∈(n,),使得h(x0)=0,··························································10分
a
1
又因为p(x)在(n,)上单调递增,所以p(x0)>p(n)=0,
a
所以x0是g(x)的一个不动点,
综上,g(x)在(a,+∞)上至少有两个不动点.…………………………………12分
答案第4页,共4页