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数学专业毕业论文
类比思想在中学数学中的应用
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研究的方法,是最重要的数学思想方法之一,在中学学数学中有着广泛的应用。下面我将分四部分:第一部分总结了类比思想在数学概念中体现;第二部分归纳了类比思想在数学公式中体现;第三部分阐述了类比思想在数学性质中体现;第四部分结合例题分析了类比思想在数学解题中体现。接下来将具体论述这四个部分。
一、类比思想在中学数学概念中的体现
数学教育家波利亚说:“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较,找出它们相似的地方,从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方,这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。
(一)类比思想在中学几何概念中的体现
数学中的许多概念之间有类似的地方,在新概念的提出、新知识的讲授过程中,运用类比方法,一方面可以让学生更好地理解新概念的内涵与外延,使学生更容易接受新知识,其次也有利于掌握新旧知识间的区别和联系,有利于知识的迁移,更为重要的是可以让学生体会和学****类比思想方法,培养学生的创新能力。众所周知,平面几何的基本构成元素是点和直线,而立体几何的基本构成元素是点、直线和平面。通过建立如下对应关系:平面内的点对应到空间中的点或直线,平面内的直线对应到空间中的直线或平面,那么把平面几何某些定理中的点换作直线,或把线换作平面,就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。
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(1)平面角是由一个交点与两条直线组成;
二面角是由一条直线与两个平面组成。
(2)平面上,到直线的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的两条直线;
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空间中,到直线的距离相等的点的集合是直的圆形曲面;
空间中,到平面的距离相等的点的集合是与平面平行的两个平面。
(3)平面上,到两定点的距离的和等于一个常数(大于两定点间的距离)的点的集合是椭圆;空间中,到两定点的距离的和等于一个常数(大于两定点间的距离)的点的集合是椭圆面;
平面上,到两定点的距离的差等于一个常数(小于两定点间的距离)的点的集合是双曲线;空间中,到两定点的距离的差等于一个常数(小于两定点间的距离)的点的集合是双曲面;
在平面,到定直线与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一条抛物线;空间中,到定平面与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一个抛物线面。
(二)类比思想在中学数列概念中的体现
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(1)等差数列,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差;
(2)等比数列,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个(非零)常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
二、类比思想在中学公式中的体现
在数学教学中,我们还看到,存在着并列关系的两个数学对象,它们之间无论是教学内容和教材处理都很相似,如等差数列和等比数列在内容上是完全平行的,包括定义性质通项公式等,两个数的等差(等比)中项两种数列在函数角度下的解释等,因此在等比数列的教学中,采用类比的方法,对等差数列的概念公式和性质进行探索,归纳,类比,促进学生主动获得等比数列的知识它们的性质,重要结论有许多可类比的地方。
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(一)类比思想在中学几何公式中的体现
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三角形面积公式:,
三棱锥体积公式:;
梯形的面积公式:;
棱台的体积公式:;
:
三角形
四面体
在ΔABC中,的平分线交BC于D,则.
在四面体A-BCD中,二面角C-AB-D的平分面交棱CD于点E,则,.
设ΔABC的三边长分别为、、,ΔABC的面积为,内切圆半径为,外接圆半径为,则
(1);
(2).
设四面体A-BCD的四个侧面的面积分别为,,,,内切球的半径为,外接球的半径为,则
(1);
(2).
在ΔABC中,
(正弦定理).
在四面体A-BCD中,棱AB与面ACD、BCD的夹角分别,,则.
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在ΔABC中,
(射影定理)
其中分别为角的对边.
在四面体A-BCD中,四个侧面的面积分别为,,,,则
其中分别为面与面所成二面角的大小.
在ΔABC中,
(余弦定理).
在四面体A-BCD中,
其中分别为面与面,面与面,面与面所成的二面角.
设是ΔABC内任意一点,连结并延长交对边于点则
设是四面体A-BCD内任意一点,连结并延长交对面于点,则
:
B
A
C
a
c
b
立体几何与平面几何是前后衔接的两门相近科学,不少相关定理既有联系又有区别,立体几何的某些定理又可以溯源于平面几何中的某些定理因此立体几何的教学中可以由平面几何的知识类比引入的例子很多例如:
B
A
C
P
图1
(1)平面上,在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c则。如图:;(如图1)
图2
空间中,四面体,面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为
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、、、,三个面与底面所成的二面角分别为、、则有。(如图2)
B
A
C
P
D
E
F
H
(2)平面上,在直角中,角,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,边c上的高为h,则有;,
B
A
C
P
图3
空间中,四面体、、,、、,点H为点P在面ABC内的射影,则有。(如图3)
图4
O
A
r
C
B
(3)平面上,在直角中,角,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有;
图5
空间中,四面体,、、,面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、,则有。(如图4)
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