文档介绍：第三章欧氏几何与公理化方法
欧氏几何的公理化方法
一、公理化思想方法的内涵与价值
二、直观公理化时期——《几何原本》
三、思辨性的公理化时期——非欧几何
四、形式主义的公理化时期——希尔伯特的《几何基础》
五、结构主义的公理化时期——布尔巴基的《数学原本》
六、张景中公理几何体系
五、中学数学教材中的公理系统
一、公理化思想方法的内涵与价值
什么是“公理”?
公理:在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为不需要证明的真理,是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”?
公理化方法:从某些基本概念和基本命题出发,依据特定的演绎规则,推导是系列定理,从而构成一个演绎系统的方法。
公理的自明性
公理化体系所依赖的“演绎推理”规则
公理化方法的目标:形成一个演绎的科学体系
公理的选取必须符合:
相容性
独立性
完备性
公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
(2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
异同。
(3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。
(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期
2、思辨性的公理化时期
3、形式主义的公理化时期
4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》公元前3世纪,
1607年前6卷译成中文
“此书有四不必:不必疑,不必揣,不必试,不必改。有四不得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更之不可得。有三至三能:似至晦实至明,故能以其明明他人之至晦;似至繁实至简,故能以其简简他人之繁;似至难实至易,故能以其易易他人之难。易生于简,简生于明,综其妙在明而已”——徐光启
《几何原本》的主要内容
共13卷
第一卷:提出23个定义、5条公设、
5条公理、 48个命题
第一卷从定义、公设、公理开始,接着用 48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。
1)点是无大小的;
2)线是有长度而无宽度的;
3)线的界线是点;
4)直线是这样的线,它对于它的任何点来说都是同样放置着的;
5)面只有长度和宽度;
6)面的界线是线;
7)平面是这样的面,它上面的直线是同样地放置着的;
8)平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度;……
公设
Ⅰ.从任意点到另一点可以作直线
Ⅱ. 一条直线可以无限延长
Ⅲ.以任意点为中心,任意长为半径可以作圆周

V. 平面上两直线被一直线所截,若截线一侧的两内角之和小于两直角,则此两直线必相交于截线的这一侧。