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反比例函数中面积问题
 
    一、以反比例函数图像上点和过这点作坐标轴垂线所得垂足所围成图形面积
例1  反比例函数y=图像如图1所示,点M是该函数图像上一点,MN垂直于x轴,垂足是点N,如果S△MON=2,则k值为        .
分析  图中△MON是以图像上一点和过这点作x轴或y轴垂线所得垂足及坐标原点围成,只需根据三角形面积公式就可以求出k值.
解  设M点坐标为(x,y),则S△MON=|xy|=|k|=2,得|k|=4,∴k=±4(k=4不合题意,舍去),即k=-4.
变式1:如图2,已知点P在函数y=(x>0)图像上,PA⊥x轴、PB⊥y轴,垂足分别为A、B,则矩形OAPB面积为      .
分析  只是把图中三角形变为矩形,所以S矩形OAPB=|xy|=2.
二、以反比例函数图像与正比例函数图像交点和坐标平面上一些特殊点所围成图形面积
例2  如图3,反比例函数y=图像与直线y=kx(k>0)相交于A、B两点,AC∥y轴,BC∥x轴,则△ABC面积等于       个面积单位.
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分析 Rt△ABC两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像交点,分别在反比例函数图像两个分支上,且知道反比例函数图像上A、B两点关于原点成中心对称,∴S△ABC=|2x×2y|=2|xy|=10.
变式1. 如图4,直线y=mx与双曲线y=交于点A、B. 过点A作AM⊥x轴,垂足为点M连接BM. 若S△ABM=1,则k值是(    ).
       -1
           
分析  图形变为反比例函数图像上A、B两点和其中一点与坐标轴交点所围成△AMB,底为|y|,高为|2x|,则S△ABM=|y×2x|=|xy|=|k|=1,得k=±1(根据图形知k>0),所以k=1.
变式2. 如图5,直线y=mx与双曲线y=交于点A、B过点A、B分别作AM⊥x轴、BN⊥x轴,垂足分别为M、N,连接BM、AN. 若SAMBN=1,则k值是         .
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分析  图形变成AMBN,它面积实际上就是△ABM面积2倍,则SAMBN=2|xy|=2|k|=1,结合图像可知k=.
三、以反比例函数图像与一次函数图像交点和坐标原点所围成图形面积
例3  如图6,在直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b图像与反比例函数y=图像交于A(1,4)、B(3、m)两点.
(1)求一次函数解析式;
(2)求△AOB面积.
分析  (1)略;
(2)△AOB是以反比例函数图像与一次函数图像交点和坐标原点所围成图形,△AOB面积直接比较难求,可看作S△COD-S△COA-S△BOD. 先求出一次函数解析式,然后求出一次函数y=k1x+6图像与x轴和y轴交点坐标,就可求出S△COD、S△COA、S△BOD,即可求出S△AOB=4××-×1×-4××=.
变式1. 如图7,一次函数y=kx+b图像与反比例函数y=图像交于A(-2,1),B(1,n)两点.
(1)试确定上述反比例函数和一次函数解析式;
(2)求△AOB面积.
 分析  (1)略:
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(2)△AOB也是以反比例函数图像与一次函数图像交点和坐标原点所围成图形,只是把△AOB面积看作S△COD+S△COA+S△BOD,即可求得S△AOB=1×1×+1×1×+1×1×=.
四、以反比例函数图像与其它图形交点和坐标原点所围成图形面积
例4  如图8,已知双曲线y=(x>0)经过矩形OABC边AB中点F,交BC于点E,且四边形OEBF面积为2,则k=      .
 
分析  这是以反比例函数图像与矩形交点和坐标原点所围成图形面积. 四边形OEBF面积可看作S矩形OABC-S△COE-S△AOF,设F点坐标为(x,y),则E点坐标为(x,2y),S矩形OABC=x×2y=2xy=2k,S△COE=x×2y×=xy=k,S△AOF=xy=k,所以S四边形OEBF=k=2.
五、以反比例函数图像上点与坐标轴围成图形及一次函数图像与坐标轴围成图形和面积
例5  如图9,D是反比例函数y=(k<0)图像上一点,过D作DE⊥x轴于E,DC⊥y轴于C,一次函数y=-x+m与y=-x+2图像都经过点C,与x轴分别交于A、B两点,四边形DCAE面积为4,求k值.
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分析  先求出C(0,2),D(,2)和m=2,再求出A(2,0),得S矩形OCDE=-k,S△COA=2,所以-k+2=4,得k=-2.