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高中数学
锥曲线选知识点总结
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一、椭
1、定义:平面内与两个定点F,F的距离之和等于常数(大于\FF|)的点
121121的轨迹称为椭圆•
即:IMFI+IMFJ2a,(2a>1FFI)。
1212
2、椭
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距•
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
A
标准方程
兰+22=1C>b>0)
a2b2
兰+兰=1(a>b>0)a2b2
范围
-a<x<a且-b<y<b
-b<x<b且-a<y<a
顶点
A(-a,0)、A(a,0)
12
B(0,-b)、B(0,b)
12
A(0,-a)、A(0,a)
12
B(-b,0)、B(b,0)
12
轴长
短轴的长=2b长轴的长=2a
焦点
F(-c,0丿、F(c,0)
12
(
F(0,-c)、F(0,c)
12
焦距
FF=2c(
12
:2=a2—b2
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
离心率
e=-=’匸F(0<e<1)e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁a\a2
圆
的几何性质:
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二、双曲线
1、定义:平面内与两个定点F,F的距离之差的绝对值等于常数(小于
12
IFFI)的点的轨迹称为双曲线•即:IIMFI-IMF11=2a,(2a<\FFI)。
I12I1212
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距•
2、双曲线的几何性质:
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
"XV
、一
标准方程
乂-兰=l(a>0,b>0)
a2b2
兰-乂=1(a>0,b>0)a2b2
范围
x<-a或x>a,yeR
y<-a或y>a,xeR
顶点
A(-a,0丿、A(a,0)
12
A(0,-a)、A(0,a)
12
轴长
虚轴的长=2b实轴的长=2a
焦点
F(-c,0丿、F(c,0)
12
(
F(0,-c)、F(0,c)
12
)
焦距
FF=2c(
12
、2=a2+b2'
对称性
关于X轴、y轴对称,关于原点中心对称
离心率
e=£=J1+竺(e>1),e越大,双曲线的开口越阔a\a2
渐近线方程
y=±叭
a
y=±axb
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线•
三、抛物线
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1、定义:,定直线l称为抛物线的准线•
2、抛物线的几何性质:
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=一2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=一2py
(p>0)
范围
x>0
x<0
y>0
y<0
顶点
(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
1‘0]
F
卜f‘01
F
:哇【
F
准线方程
x—
2
x=匕
2
y一匕
2
y=匕
2
离心率
e=1,p越大,抛物线的开口越大
焦半径
M(X0,y0)
MF
二x+匕
02
MF二―x+p
MF
=y+£
02
MF
=-y0+彳
通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径:
HH]=2p
焦点弦长
公式
AB=
x-
1
+x
2
+p
AB=
yi
+匕|+p
3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”,即|AB|=2p•
4、关于抛物线焦点弦的几个结论:
设AB为过抛物线y2二2px(p>0)焦点的弦,A(x,y)、B(x,y),直线AB1122的倾斜角为0,则
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-5-
⑴xx=—,yy=-p2;
12412
⑵|AB|
2p
sin20
⑶以AB为直径的圆与准线相切;
⑷焦点f对A、在准线上射影的张角为2
112
+=
IFAIIFBIP
四、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系■(几数角度(适用于所直直与圆圆锥曲线位置关系)
直线与圆锥曲线相交的弦长问题
利用一般弦长公式(容易)利用两点间距离公式(繁琐)
:
⑴.从几何角度看:(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点。
⑵•从代数角度看:设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2+bx+c二0。
①•若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线L与双曲线的渐进线平行或重合;
当圆锥曲线是抛物线时,直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②•若a丰0,设A二b2-4ac。>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。
=0时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。<0时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离。
五、弦长问题:
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难序,化解这个难点的方法是:设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入。即当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点
A(x,y),B(x,y)时,则
1122
x-x二p'l+k2+x)2-4xx
12*1212
P+右^1-"2
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