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线性空间习题解答.doc

文档介绍

文档介绍:该【线性空间习题解答 】是由【知识无限】上传分享,文档一共【19】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【线性空间习题解答 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。第六章
线性空间****题解答P267
.1设M
N,证明:MINM,MUNN
证明:一方面M
N
,因为M
M,M
N,
得M
M
N.
2证明:(1)M
(N
L)
(M
N)
(M
L).
(2)M
(N
L)
(M
N)
(M
L)
证明:(1)
设x
M
(N
L),则x
M且x
N
L.
即x
M且x
N或x
M.

(M
N)
(ML).
另一方面,因为M
N
M
(N
L),M
L
M
(N
L),所以
(MN)(ML)M(NL).
(2)一方面,M
(N
L)
M
N,M
(N
L)
ML),所以
M(NL)(MN)(ML).
另一方面,
x
(M
N)
(M
L),则x
M
N且x
M
L.
若xM,则x
M
(N
L).若x
M,则x
N且x


xM(NL),所以(MN)(ML)M(NL).
.
次数等于n(n1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数目乘法.
设A是nn实矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体,对于矩阵的加法和数目乘法.
全体n级实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数目乘法.
平面上不平行于某一直量的全体向量所成的会合,对于向量的加法和数目乘
法.
全体实数的二元数列,对于下边定义的运算:
(a1,b1)(a2,b2)(a1
a2,b1
b2a1a2),
k(a1,b1)(ka1,kb1
k(k
1)a12).
2
平面上全体向量,对于往常的加法和以下定义的数目乘法:
k=0.
会合与加法同(6),数目乘法为
k=.
全体正实数R+,加法和数目乘法定义为:ab=ab,ka=ak.
(1)
否.,(x)=xn,g(x)=xn-
f(x)+g(x)=-1不再是n次多项式.
(2)
{f(A)|f(x)
R[x]}作为n级实矩阵全体的子集,对于矩阵
的加法和数目乘法关闭.
(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数还是实对称(反对称,上三角)矩阵.
(4)

|
为平面上不平行
的向量,
=(a,b)=(a+1,b),
=(a-1,b),则
,
V,可是,
+
V.
证明:10明显V非空.
202个代数运算关闭.
30先设(a1,b2),(a2,b2),r(a3,b3),及k,tR
(1)
(a2
a1,b2
b1
a2a1)
(2)(
)
r
((a1
a2)
a3,(b1
b2
a1a2)
b3
(a1
a2)a3
......................
(a1
a2
a3,b1
(b2
b3
a2a3)
....
(
r)
(a1
(a2
a3),b1
(b2
(b2
b3
a2a3)
a1(a2
a3)
.....................
(a1
a2
a3,b1
b2
b3
a2a3
a1a2
a1a3)
(
)r
(3)0
(0,0),
0
(a1
0,b1
0
a10)
(a1,b1)
(4)的负为
(
a1,a12
b1)
...........
(
)
)a1
(
a1),b1
(a12
b1)
a1(
a1))
(0,0)
0
(5)1o
(1oa1,1ob1
1
1o(1
1)a12)
(a1,b1)
2
(6)ko(lo
)
ko(la1,lb1
1l(l
1)a1
2
2
...............
(kla1,k(lb1
1
k(k
1)a12)
1
k(k
1)(la1)2)
2
2
(kla1
klb
1kla12(l
1
(k
1))
2
=(kla1,klb1+1kl((k
1)a12)
=klo
2
k+1)a1,(k+l)b1+1(k
(7)(k+l)o
=((
l)(k
l
1)a12)
2
=((k+1)a1,(k+l)b1+
1
(k2
l2
2kl
k
l)a12)
2
(ka1
la1,kb11
k(k1)a12
(b11
)l(l
1)a12
ka1la1)
ko
lo
2
2
(8)
ko(
)ko(a1
a2,b1b2
a1a2)
(k(a1
a2),k(b1
b2
a1a2
1k(k1)(a1a2)2)
1k(k
1k(k1)a22
2
(ka1
ka2,kb1
1)a12
kb2
ka1a2
k(k
1)a1a2)
2
2
(ka1
ka2,(kb1
1
k(k
1)a12)
(kb2
1
k(k
1)a22
(k2a1a2))
(ka1,kb21
2
1
2
k(k
1)a12)
(ka2kb2
k(k
1)a22)
2
2
知足3,故V是一个线性空间
(6)(5):Q1
,但这里1
0。取
0即得矛盾。
不做成。违犯分派律,
0,则会有
2.
(1
1).
1.
1.
(7)
0,矛盾
(8)能够考证这是一个实数域上的线性空间
.(V=R+P=R
a
b=abkoaak)
证明:

,o关闭.
任取a,b,cR,k,lR
(1)a
b=b
a=ba
(2)(a
b)
c=(ab)c=a(bc)=a(bc)
(3)
零元0=1,a
0=a1=a
(4)
负元-a=1,a
(-a)=a1=1=0.
a
a
1oa=a1=a
ko(loa)=ko(a1)=(a1)k=alk=(lk)oa
(7)(k+l)oa=a(k+l)=akgal=akal=koa
(8)ko(ab)=ko(ab)=(ab)k=akbk

loa
=ak

bk=koa

kob
故R+对于

o做成

R上的向量空间

.


,

证明:(1)k0=0.

(2)

k(

)

k

k.
证明:(1)设
k(+0)=k

是线性空间的任一个向量
=k+k0,所以k0=0.

,由零向量的性质

+0=

,再由分派律

:
(2)由(1)得

k(

+(

))=k0=0=k

+k(

),



k(

)=

k

.

所以
k(

)=k(

+(

))=k

+k(-

)=k

k.
5.
2
是线性有关的.
证明:在实函数空间中,0,cost,cos2t
2
证明:cos2t=2cost1,所以
1
2cos2tcos2t=0.∴,cos2t线性有关
假如是f1,f2,f3线性空间P[x]中的三个互素的多项式,可是此中随意两个都不互素,证明它们线性没关.
证:∵(f1,f2,f3)1,(f1,f2)

1,(f2,f3)1,(f2,f1)1,
设a1f1

(x)

a2f2(x)

a3f3

(x)

0,不如设a1

0,

则f1(x)

a2
a1

f2(x)

a
a1

3

f3(x).
因为

(

f2

,f

3

)=d(x)

1,

那么

d(x)整除

f2,f3

的组合

,故

d(x)|f1

(x),

于是有
d(x)|(f1(x),f2(x),f3

(x))

,

与(f1,f2,f3)

1矛盾!
在P4中,求在1,2,3,4下的坐标.
(1)
1
1,1,1,1,
2
1,1,1,1,3
1,
1,1,
1,
4
1,
1,
1,1,1,2,1,1.
(2)
1
1,1,0,1,
2
2,1,3,1,3
1,1,0,0,
4
0,1,1,
1,
0,0,0,1.
1
1
1
1
解:(1)
设e1,e2,e3,e4是单位坐标向量,
A
1
1
1
1

1
1
1
,
1
1
1
1
1
(1,2,3,4)(e1,e2,e3,e4)A.
1
1
(e1
,e2,e3,e4)
2
(
1,
2,
3,
4)A
1
2
,
所以

1,
2,3,4下的坐标是
1
1
1
1
5,1,
1,
1.
4
4
4
4
(2)
同理解得所以

1,
2,
3,4下的坐标是(1,0,
1,0).
.
(1)
数域P是的空间Pn
n.
Pnn中的全体对称(反对称,上三角)矩阵作成的数域P上的线性空间.
第3题的(8)中的空间.
实数域上由矩阵A的全体实多项式构成的空间,此中
1
0
0
A
0
0.
0
0
2
解:
(1)
Pnn的一组是Eij,
1,2,...,n,共有n2个(矩阵)元素.
它们线性没关,
n
.且任何
Q
aijEij
0
A
(aij)0i,j,aij
0
i,j1
n
B
(bij)
Pnn,则B
bijEij,
所以dimPnn
n2,它的一个基是E
,i,j
1,2,...,n.
i,j
1
ij
Pnn中全体对称矩阵会合S(P),它的一个基是EijEji,ij
dimS(P)
1n(n
1)
2
Pnn中全体反对称矩阵会合
K(P),它的一个基是Eij
Eji
,i
j
dimK(P)
1
n(n1).
2
Pnn中全体上三角矩阵会合U(T),它的一个基是Eij
,i
j
dimU(T)
1n(n
1).
2
nn
中全体真下
(),
它的一个基是
Eij
,
i
j
P
三角矩阵会合DT
dimD(T)
1n(n
1)
2
对于第2题之(8)中的空间R+,这是一个一维的线性空间,事实上,我们能够取
此中的一个数e(无理数),则e
1,
且对于随意的a
R+去

a=ke=.
,
k=lna,
(4)
3=1,所以
解:因为
1
1
1
A2
2
2
.A3
1
E.
4
1
故对随意的设fx
R[x],fx
a0
a1x
a2x2
L
anxn,
则fA
a0a3
a6LEa1
a4
a7
LAa2a5
a8LA2
故fAb0Eb1Ab2A2.
2可表示中所有元素。
E,A,AV
x
yz
0
假如xEyAzA2
0
x
1y
2z
0
x
2y
E
0
1
1
1
∵系数队列式1
2
3
2
0,所以x
yz0只有零解.
1
2
、、
2
2
即,EA
A线性没关,由定理
1,dimV=3,它的一个基是E,A,A.
,求由基1,2,3,4到基1,2,3,4的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基
下的坐标.
(1)1
1,0,0,0
,2
0,1,0,0,
3
0,0,1,0,
4
0,0,0,1,
x1,x2,x3,x4
1
2,1
1,1,2
3
,
4
,
1
2
(2)
3
4

(1,2,1,0)
(1,1,1,1)
,
(1,2,1,1)
(1,1,0,1)

1
2
3
4

(2,1,0,1)
(,2,2)
,(1,0,0,0).
(2,1,1,2)
(1,3,1,2)
(3)1
1,1,1,1
2
1,1,1,1,
3
1,1,1,
1
4
1,
1,
1,1.
1
1,1,0,1
,2
2,1,3,1,
3
1,1,0,0
,
4
1,
1,
1,1.
求1,0,0,1在1,2,3,4下的坐标.
解(1)
设过渡矩阵是A,即(1,2,3,4)=(
1,
2,3,4)A,所以
2
0
5
6
1
3
3
6
A
1
2
.
1
1
1
0
1
3

1,2,3,4下的坐标为
4
1
1
11
x1
x1
9
3
9
x1
1
4
1
23
x2
1x2
x2
A
27
9
3
27
.
x3
x3
1
2
x3
0
0
x4
x4
3
3
x4
1
1
7
26
27
9
3
27
(2)求由求由基
1,2,
3,
4到基1,2,3,4
的过渡矩阵,并求

1,2,3,4下
的坐标.
解:(1,
2,3,4)=(e1,e2,e3,e4
)A,(
1,
2,
3,
4)=(e1,e2,e3,e4)B,所以
(1,2,
3,4)=(e1,e2,e3,e4)B=(1,
2,
3,
4)A1B=(1,2,3,4)T.
1
0
0
1
1
1
0
1
1,2,3,4下的坐标为
求得过渡矩阵是
T
1
1
,

0
1
0
0
1
0
,5,2,
(3)与(2)近似,获得基1,2,3,4到基
1,
2,3,4的过渡矩阵为
3
7
1
1
4
4
2
4
1
1
1
3
4
4
2
4
T
1
3
0
1.
4
4
4
1
1
0
1
4
4
4
在1,2,3,4下的坐标为(2,
1,4,
3).
2
2
)求一非零向量ξ,它在基
1,2,3,4与1,2,
3,4下有同样的坐
标.
解:由条件可知,应当求向量ξ使得
ξ=
x1
x1
ξ=(1,2,3,4)
x2
=(1,2,3,4)
x2.
x3
x3
x4
x4
x1
x1
k
(1
1,2
2,3
3,4
4)
x2
=0,求得
x2
=
k
.
x3
x3
k
x4
x4
k
证明实数域作为自己上的线性空间与第3题之(8)中的空间同构.
证明:已知第3题之(8)
性空间元素一维的.
事实上,1就是它的一组基,任何向量aR都可由1线性表出:
a=a1.
由定理12,
同一个数域上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相
所以这两个空间同构.
同,
,V2
都是线性空间V的子空间且V1
?V2,证明假如dimV1
dimV2,则
V1V2.
证明:取的V1

:
1,2,...,r,

1,2,...,r
2
因为

V,
dimV1dimV2,
1,2,...,
r也是V2

V2.

Pn
n,
(A).
当A=E时,求C(A).
1
2
(3)当A时,求C(A)的维数和一组基.
...
n
解:(1)
Q0
C
A.
kP,X,YCA
AXY
AXAYXAYAXYA
AkX
kAX
kXAXkA.
X
Y,
kXCA
,
()是
P
n
n的一个子空间.
C
A
(2)
Qxpnn,有XEEX,故XC
E
Pnn
CE但CEPnn
当A
E时,CAC(E)
Pnn.
1
(3)
设X=(xij)
2
,由AX=XA,得
C(A),因为A
...
n
x11
x12
x1n
x11
2x12
nx
2x21
2x22
2x2n
x21
2x22
nx
于是有ixijij,
nxn1
nxn2
nxnnxn12xn2
nx
ij

ij
是对角形矩阵
.
=jx
(i-j)x=0,
ij,x=

1n
2n
.
nn
E11,E22,L,Enn线性没关,是C(A)的一个基,故
dimC(A)=n.
1
0
0

1
0
,求P33中全体与A可互换的矩阵所成子空间的维数好一组
3
1
2
基.
1
0
0
1
0
0
0
0
0
解:因为A0
1
0
0
1
0
0
0
0
EB,E与任何矩阵乘积可交
3
1
2
0
0
1
3
1
1
换,所以只要求X使得BX=
a
b
c
0
0
0
3c
c
c
Xd
e
f
,BX
0
0
0
=XB=3f
f
f,
gh
i
3ad
g3beh3cfi
3i
i
i
得c=0,f=0.
3a
d
g
3i
3a
d
g
3i
0
且3b
e
h
i,
为含有7个未知量拥有两个方程的齐次
3c
f
i
i
3b
e
h
i
0
线性方程组,取a,b,d,e,i为自由未知量.
挨次取a,b,d,e,i
1,2,3,4,5得
C(A)的一组基:
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0.
3
0
0
0
3
0
1
0
0
0
1
0
3
1
1
dimC(A)=5.
15.
设c1d
c2
c3r
0,且c1c3
0,
证明L.
L
.r.
证明:c1c3
0,c1dc2
c3r
0
c2
c3r,r
c1
c2
.
c1
c1
c3
c3
所以向量组
,

,
能够互相线性表出,
等价的向量组生成同样的子空间,
所以L.
L
.r
.
16.
在P4中,求1,
2,
3,4生成的子空间的基与维数.
(1)
1(2,1,3,1),
2
(1,2,0,1),
3
(-1,1,-3,0),
4
(1,1,1,1).
1
2
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
解:
2
1
2
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
3
0
0
2
2
1
0
0
0
1
3
4
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1111
0110
0001
0000

.1,2,4为极大没关组.
1,2,4是该子空间的一组基,该子空间的维数是3.
解法2.
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1,
2,
3,4
1
2
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
)=
0
3
1
0
3
6
2
0
0
3
.得
3
1
1
1
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1,
2,
4是该子空间的一组基
,该子空间的维数是
3.
1
2
(2)
3
4

2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
1
1
3
1
1
2
0
0
1
2
0
0
4
5
3
1
2
4
0
0
0
0
0
0
1
5
3
1
3
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秩1,2,342,1,2是一个极大没关组.