文档介绍：该【2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷 】是由【自在飞花轻梦】上传分享，文档一共【22】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:.
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)方程2x2=3(x﹣6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
,3,﹣,﹣3,,﹣3,,3,6
2.(3分)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
.
.
3.(3分)如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x,x,那么x+x=( )
1212
A.﹣.﹣
4.(3分)已知x=8是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解,则m的值是( )
A.﹣﹣7D.﹣7
5.(3分)配方法解方程x2+8x+7=0,则方程可化为( )
A.(x﹣4)2=9B.(x+4)2=9C.(x﹣8)2=16D.(x+8)2=16
6.(3分)对于二次函数y=(x﹣1)2,下列结论错误的是( )
>2时,y随x的增大而增大
7.(3分)某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面
所列方程正确的是( )
(1﹣x)2=(1﹣x)2=289
(1﹣2x)2=(1﹣2x)2=289
8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点(ac,bc)在( )
:.
9.(3分)已知两点A(﹣5,y),B(﹣1,y)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x,y)是
1200
该抛物线的顶点,若y1>y2≥y0,则x0的取值范围是( )
>﹣>﹣>﹣3D.﹣5<x0<﹣1
10.(3分)△ABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O,则
线段AO的最大值为( )
+
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)在平面直角坐标系中,点(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是 .
12.(3分)若y=(a+3)x|a|﹣1+3x是二次函数,则a= .
13.(3分)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支
干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个
数是 .
14.(3分)点A(2,m),B(﹣1,n)是抛物线y=x2﹣1上的两点,直线y=kx+b经过A、B两点,不等
式x2﹣1>kx+b的解集为 .
15.(3分)在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后,截面如图所示,液面宽AB=6m,如果继续向
油槽内注油,使液面宽为8m,那么液面上升了 m.
:.
16.(3分)抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣2,0),且对称轴为直线x=1,
抛物线有如下四个结论:
①b=﹣2a;
②4a+2b+c>0;
③若n>m>0,则x=1+m时的函数值小于x=1﹣n时的函数值;
𝑐
④点(-,0)一定在此抛物线上.
2𝑎
其中正确的结论是 .
三、解答题(共8小题,共72分)
17.(8分)(1)解方程:x2﹣4x﹣1=0.
(2)解不等式:2x﹣1<3(1+x).
18.(8分)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点E落在BC的延长线上.
求证:∠3=∠1+∠2.
19.(8分)已知抛物线经过点(﹣1,0),(3,0),且函数有最小值﹣4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若0<x<4,求函数值y的取值范围.
20.(8分)在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A
(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD;
(2)在线段AB上画点E,使∠BCE=45°(保留画图过程的痕迹);
(3)连接AC,画点E关于直线AC的对称点F,:.
21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,P为AB上一点,弦CD与弦EF交于点P,PB平分∠DPF,连DF
交AB于点G.
(1)求证:CD=EF;
(2)若∠DPF=60°,PE:PF=1:3,AB=213,求OG的长.
22.(10分)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售
价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如表:
销售价格x元3035404550
(元/千克)
日销售量p6004503001500
(千克)
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式;
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公
司的日获利的最大值为2430元,求a的值.
23.(10分)[问题背景]如图1,在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,E是AD上的一点,且DE
=DC,:BE⊥AC;
[迁移运用]如图2,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是△ABC外的一点,且AD=2AC,
把点D绕点C逆时针方向旋转90°得到点E,连接BE,求证:BE=2CE;
[拓展创新]如图3,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是△ABC外的一点,且∠ADC=30°,
72
E是AB的中点,连接DE,若AD=4,DE=,则△ACD的面积为 .(直接写出结果)
2:.
24.(12分)如图,抛物线y=ax2+3ax+4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
且S△ABC=10,点P为第二象限内抛物线上的一点,连接BP.
(1)求抛物线的解析式;
𝐴𝐷
(2)如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,若∠BPD=2∠BCO,求的值;
𝐷𝐵
(3)如图2,设BP与AC的交点为Q,连接PC,是否存在点P,使S△PCQ=S△BCQ?若存在,求出点
P的坐标;若不存在,请说明理由.
:.
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)方程2x2=3(x﹣6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
,3,﹣,﹣3,,﹣3,,3,6
【解答】解:方程2x2=3(x﹣6),
去括号,得2x2=3x﹣18,
整理,得2x2﹣3x+18=0,
所以,二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,﹣3,18,
故选:B.
2.(3分)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
.
.
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故A选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B选项错误;
C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故D选项错误.
故选:C.
3.(3分)如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=( )
A.﹣.﹣
【解答】解:根据题意可得
𝑏‒3
x1+x2=-=‒=3,
𝑎1
故选:B.
4.(3分)已知x=8是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解,则m的值是( )
A.﹣﹣7D.﹣7:.
【解答】解:∵x=8是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解,
∴82+8m﹣8=0,
∴m=﹣7.
故选:D.
5.(3分)配方法解方程x2+8x+7=0,则方程可化为( )
A.(x﹣4)2=9B.(x+4)2=9C.(x﹣8)2=16D.(x+8)2=16
【解答】解:方程移项得:x2+8x=﹣7,
配方得:x2+8x+16=9,即(x+4)2=9.
故选:B.
6.(3分)对于二次函数y=(x﹣1)2,下列结论错误的是( )
>2时,y随x的增大而增大
【解答】解:对于二次函数y=(x﹣1)2,
∵a=1>0,
∴抛物线的开口方向向上,
∴A选项正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线的开口方向向上,
∴当x>1时,y随x的增大而增大,
∴当x>2时,y随x的增大而增大,
∴B选项正确;
∵抛物线的顶点为(1,0)在x轴上,
∴抛物线与x轴只有一个交点,
∴C选项错误;
∵a=1>0,
∴函数在x=1时有最小值1,
∴D选项正确.
综上,错误的选项为:C.
故选:C.
7.(3分)某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面:.
所列方程正确的是( )
(1﹣x)2=(1﹣x)2=289
(1﹣2x)2=(1﹣2x)2=289
【解答】解:根据题意可得两次降价后售价为289(1﹣x)2,
∴方程为289(1﹣x)2=256.
故选:A.
8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点(ac,bc)在( )
【解答】解:函数开口向下,因而a<0,
对称轴在y轴的右侧,则b与a异号,因而b>0,
与y轴的正半轴相交,因而c>0,
∴ac<0,bc>0,
横坐标小于0,纵坐标大于0,因而点在第二象限,
则点(ac,bc)在第二象限.
故选:B.
9.(3分)已知两点A(﹣5,y),B(﹣1,y)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x,y)是
1200
该抛物线的顶点,若y1>y2≥y0,则x0的取值范围是( )
>﹣>﹣>﹣3D.﹣5<x0<﹣1
【解答】解:∵两点A(﹣5,y),B(﹣1,y)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x,y)
1200
是该抛物线的顶点,
∴若y1>y2≥y0,则此函数开口向上,有最小值,
‒5‒1
∴<x0≤﹣1或x0≥﹣1,
2
解得,x0>﹣3
故选:C.
10.(3分)△ABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O,则
线段AO的最大值为( ):.
+
【解答】解:如图:以AO为边作等腰直角△AOF,且∠AOF=90°,
∵四边形BCDE是正方形,
∴BO=CO,∠BOC=90°,
∵△AOF是等腰直角三角形,
∴AO=FO,AF=2AO,
∵∠BOC=∠AOF=90°,
∴∠AOB=∠COF,且BO=CO,AO=FO,
∴△AOB≌△FOC(SAS),
∴AB=CF=4,
若点A,点C,点F三点不共线时,AF<AC+CF;
若点A,点C,点F三点共线时,AF=AC+CF,
∴AF≤AC+CF=2+4=6,
∴AF的最大值为6,
∵AF=2AO,
∴AO的最大值为32.
故选:D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)在平面直角坐标系中,点(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是 (2,﹣3) .
【解答】解:点(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标为(2,﹣3).
故答案是:(2,﹣3).:.
12.(3分)若y=(a+3)x|a|﹣1+3x是二次函数,则a= 3 .
【解答】解:当|a|﹣1=2且a+3≠0时,y=(a+3)x|a|﹣1+3x是二次函数,
∴a=﹣3(舍去),a=3.
故答案为3.
13.(3分)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支
干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个
数是 6 .
【解答】解:设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,
依题意得:1+x+x2=43,
整理得:x2+x﹣42=0,
解得:x1=﹣7(不合题意,舍去),x2=6.
故答案为:6.
14.(3分)点A(2,m),B(﹣1,n)是抛物线y=x2﹣1上的两点,直线y=kx+b经过A、B两点,不等
式x2﹣1>kx+b的解集为 x<﹣1或x>2 .
【解答】解:∵点A(2,m),B(﹣1,n)是抛物线y=x2﹣1上的两点,
∴当x<﹣1或x>2时,抛物线图象在直线图象上方,
故不等式x2﹣1>kx+b的解集为x<﹣1或x>2.
故答案为:x<﹣1或x>2.
15.(3分)在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后,截面如图所示,液面宽AB=6m,如果继续向
油槽内注油,使液面宽为8m,那么液面上升了 1或7 m.
【解答】解:连接OA,作OG⊥AB于G,:.
∵AB=6m,
1
∴AG=2AB=3m,
∵油槽直径为10m.
∴OA=5m,
∴OG=4m,即弦AB的弦心距是4m,
同理当油面宽AB为8m时,弦心距是3m,
∴当油面没超过圆心O时,油上升了1m;
当油面超过圆心O时,油上升了7m.
故答案为1或7.
16.(3分)抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣2,0),且对称轴为直线x=1,
抛物线有如下四个结论:
①b=﹣2a;
②4a+2b+c>0;
③若n>m>0,则x=1+m时的函数值小于x=1﹣n时的函数值;
𝑐
④点(-2𝑎,0)一定在此抛物线上.
其中正确的结论是 ①②④ .
【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,
𝑏
∴-=1,
2𝑎
∴b=﹣2a,故①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,:.
而点(﹣2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0),
∵抛物线开口向下,
∴当x=2时,y>0,
∴4a+2b+c>0,故②正确;
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n,
∵若n>m>0,
∴1+n>1+m,
∴x=1+m时的函数值大于x=1﹣n时的函数值,故③错误;
∵b=﹣2a,
∴抛物线为y=ax2﹣2ax+c,
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣2,0),
∴4a+4a+c=0,即8a+c=0,
∴c=﹣8a,
𝑐
∴-=4,
2𝑎
∵点(﹣2,0)的对称点是(4,0),
𝑐
∴点(-,0)一定在此抛物线上,故④正确,
2𝑎
故答案为:①②④.
三、解答题(共8小题,共72分)
17.(8分)(1)解方程:x2﹣4x﹣1=0.
(2)解不等式:2x﹣1<3(1+x).
【解答】解:(1)x2﹣4x﹣1=0,
x2﹣4x=1,
x2﹣4x+4=5,即(x﹣2)2=5,
∴x﹣2=±5,
∴x1=2+5,x2=2-5.
(2)去括号得:2x﹣1<3+3x,
移项得:2x﹣3x<3+1,
合并得:﹣x<4,:.
解得:x>﹣4.
18.(8分)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点E落在BC的延长线上.
求证:∠3=∠1+∠2.
【解答】证明:∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,
∴∠ABE=∠2,
∵∠3=∠1+∠ABE,
∴∠3=∠1+∠2.
19.(8分)已知抛物线经过点(﹣1,0),(3,0),且函数有最小值﹣4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若0<x<4,求函数值y的取值范围.
【解答】解:(1)∵抛物线经过点(﹣1,0),(3,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∵函数有最小值﹣4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣4,
把(﹣1,0)代入得4a﹣4=0,解得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣4.
(2)∵y=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线开口向上,函数有最小值为﹣4,
当x=4时,y=(4﹣1)2﹣4=5,
∴当0<x<4时,函数值y的取值范围是﹣4≤y<5.
20.(8分)在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A
(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD;
(2)在线段AB上画点E,使∠BCE=45°(保留画图过程的痕迹);
(3)连接AC,画点E关于直线AC的对称点F,:.
【解答】解:(1)如图所示:线段CD即为所求;
(2)如图所示:∠BCE即为所求;
(3)连接(5,0),(0,5),可得与OA的交点F,点F即为所求,如图所示:
21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,P为AB上一点,弦CD与弦EF交于点P,PB平分∠DPF,连DF
交AB于点G.
(1)求证:CD=EF;
(2)若∠DPF=60°,PE:PF=1:3,AB=213,求OG的长.
【解答】(1)证明:如图,过点O作OM⊥EF于点M,ON⊥CD于点N,连接OF、OD,
则∠OMF=∠OND=90°,
∵PB平分∠DPF,OM⊥EF,ON⊥CD,
∴OM=ON,:.
在Rt△OFM和Rt△ODN中,
OF=OD,
{𝑂𝑀=𝑂𝑁
∴Rt△OFM≌Rt△ODN(HL),
∴FM=DN,
∵OM⊥EF,ON⊥CD,
∴EF=2FM,CD=2DN,
∴CD=EF;
(2)∵PE:PF=1:3,
∴设PE=x,PF=3x,
则EF=PE+PF=4x,
∵OM⊥EF,
1
∴EM=FM=EF=2x,
2
∴PM=EM﹣PE=2x﹣x=x,
∵PB平分∠DPF,∠DPF=60°,
1
∴∠FPB=DPB=∠DPF=30°,
2
323
∴OM=x,OP=x,
33
在Rt△OPM和Rt△OPN中,
OP=OP
{𝑂𝑀=𝑂𝑁,
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL),
∴PM=PN,
由(1)知:FM=DN,
∴PM+FM=PN+DN,
∴PF=PD,
∵∠DPF=60°,
∴△PDF是等边三角形,
∵PB平分∠DPF,
∴PB⊥DF,垂足为G,
13𝑥
∴DF=PF=3x,FG=DF=,
22:.
333𝑥
∴PG=𝑃𝐹2‒𝐹𝐺2=(3x)2‒(𝑥)2=,
22
33𝑥2353𝑥
∴OG=PG﹣OP=‒x=,
236
∵AB=213,
1
∴OF=AB=13,
2
在Rt△OFG中,根据勾股定理,得
OG2+FG2=OF2,
53𝑥3𝑥
∴()2+()2=(13)2,
62
整理,得x2=3,
解得x=±3(负值舍去),
∴x=3,
53𝑥53×35
∴OG===.
662
22.(10分)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售
价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如表:
销售价格x元3035404550
(元/千克)
日销售量p6004503001500
(千克)
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式;
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公
司的日获利的最大值为2430元,求a的值.
【解答】解:(1)假设p与x成一次函数关系,设函数关系式为p=kx+b,
30k+b=600
则{40𝑘+𝑏=300,
解得:k=﹣30,b=1500,
∴p=﹣30x+1500,
检验:当x=35,p=450;当x=45,p=150;当x=50,p=0,符合一次函数解析式,
∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500;
(2)设日销售利润w=p(x﹣30)=(﹣30x+1500)(x﹣30),
即w=﹣30x2+2400x﹣45000,:.
2400
∴当x=-=40时,w有最大值3000元,
2×(‒30)
故这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大;
(3)日获利w=p(x﹣30﹣a)=(﹣30x+1500)(x﹣30﹣a),
即w=﹣30x2+(2400+30a)x﹣(1500a+45000),
2400+30𝑎1
对称轴为x=-=40+a,
2×(‒30)2
①若a>10,则当x=45时,w有最大值,
即w=2250﹣150a<2430(不合题意);
1
②若a<10,则当x=40+2a时,w有最大值,
112
将x=40+a代入,可得w=30(a﹣10a+100),
24
12
当w=2430时,2430=30(a﹣10a+100),
4
解得a1=2,a2=38(舍去),
综上所述,a的值为2.
23.(10分)[问题背景]如图1,在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,E是AD上的一点,且DE
=DC,:BE⊥AC;
[迁移运用]如图2,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是△ABC外的一点,且AD=2AC,
把点D绕点C逆时针方向旋转90°得到点E,连接BE,求证:BE=2CE;
[拓展创新]如图3,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是△ABC外的一点,且∠ADC=30°,
72
E是AB的中点,连接DE,若AD=4,DE=,则△ACD的面积为 37‒2 .(直接写出结果)
2
【解答】(1)证明:如图1,:.
延长BE交AC于F,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°﹣∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠DAB,
∴AD=BD,
∵DE=DC,
∴△BDE≌△ADC(SAS),
∴∠DBE=∠DAC,
∵∠DAC+∠C=90°,
∴∠BDE+∠C=90°,
∴∠BFC=90°,
∴BE⊥AC;
(2)证明:如图2,
延长BC至F,使CF=BC,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,
∠ACF=∠ACB=90°,:.
∴AC=CF,∠ACD+∠DCF=90°,
∵∠DCE=90°,
∴∠ECF+∠DCF=90°,
∴∠ACD=∠ECF,
∵CE=CD,
∴△ECF≌△DCA(SAS),
∴CF=AD,
𝐶𝐹𝐴𝐶1
∴==,
𝐸𝐹𝐴𝐷2
𝐸𝐹𝐴𝐷1
∵==,
𝐵𝐹2𝐴𝐶2
𝐶𝐹𝐸𝐹
∴=,
𝐸𝐹𝐵𝐹
∵∠F=∠F,
∴△ECF∽△BEF,
𝐵𝐸𝐵𝐹
∴==2,
𝐸𝐶𝐸𝐹
∴BE=2EC;
(3)解:如图3,
连接CE,将△CED绕点E顺时针旋转90°至△AEF,并延长FA交CD于G,
∴∠DEF=90°,DE=EF,CD=AF,
∴DF=2𝐷𝐸=7,
由(1)知,
FG⊥CD,
1
∴AG=AD•sin∠ADC=4×=2,
2
3
DG=AD•cos∠ADC=4×=23,
2
在Rt△DGF中,:.
FG=𝐷𝐹2‒𝐷𝐺2=72‒(23)2=37,
∴AF=FG﹣AG=37‒2,
∴CD=AF=37‒2,
1
∴S△ACD=𝐶𝐷⋅𝐴𝐺
2
1
=×2×(37‒2)
2
=37‒2,
故答案是:37‒2.
24.(12分)如图,抛物线y=ax2+3ax+4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
且S△ABC=10,点P为第二象限内抛物线上的一点,连接BP.
(1)求抛物线的解析式;
𝐴𝐷
(2)如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,若∠BPD=2∠BCO,求的值;
𝐷𝐵
(3)如图2,设BP与AC的交点为Q,连接PC,是否存在点P,使S△PCQ=S△BCQ?若存在,求出点
P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)把x=0代入y=ax2+3ax+4得y=4,
∴点C坐标为(0,4),OC=4,
1
∵S△ABC=AB•OC=2AB=10,
2
∴AB=5,
3𝑎3
∵抛物线对称轴为直线x=-=‒,
2𝑎2
35
∴点A横坐标为-‒=‒4,
22
35
点B横坐标为-+=1,
22
即点A坐标为(﹣4,0),点B坐标为(1,0),:.
把(1,0)代入y=ax2+3ax+4得0=4a+4,
解得a=﹣1,
∴y=﹣x2﹣3x+4.
(2)设BP交y轴于点E,
∵PD⊥x轴,
∴PD∥OC,
∴∠BPD=∠BEO,
∴∠BEO=2∠BCO,
∴∠EBC=∠ECB,
∴EB=EC,
设OE=m,则CE=BE=4﹣m,
在Rt△BOE中,由勾股定理得BE2=OB2+OE2,
∴1+m2=(4﹣m)2,
15
解得m=,
8
15
∴点E坐标为(0,)
8
设直线BE解析式为y=kx+b,
15
15=𝑏
将(0,),(1,0)代入y=kx+b得{8,
80=𝑘