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一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)将方程3x(x﹣1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式后,一次项系数是( )
B.﹣8x C.﹣8 D.﹣10
2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.(3分)抛物线y=12(x﹣6)2+3的顶点坐标为( )
A.(6,3) B.(﹣6,3) C.(3,3) D.(﹣3,32)
4.(3分)方程2x2﹣3x-32=0的根的情况是( )
5.(3分)将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线为( )
=(x+3)2+5 =(x﹣3)2+5 =(x+5)2+3 =(x﹣5)2+3
6.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'恰好落在BC边上,且AB'=CB',则∠C'的度数为( )
° ° ° °
7.(3分)如图,AB为⊙O的直径,点C、D、E在⊙O上,且AD=CD,∠E=70°,则∠ABC的度数为( )
° ° ° °
8.(3分)某机械厂七月份生产零件50万个,、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )
(1+x2)=196
+50(1+x2)=196
+50(1+x)+50(1+x)2=196
+50(1+x)+50(1+2x)=196
9.(3分)如图,⊙O的直径AB为10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D点,交AB于E点,则DE的长为( )
10.(3分)函数y=|ax2+bx|(a<0)的图象如图所示,下列说法正确的是( )
|ax2+bx|=k有四个不等的实数根
+b>1
+b>0
+3b<1
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)点A(2,﹣1)关于原点对称的点B的坐标为 .
12.(3分)若关于x的一元二次方程ax2=b(a≠0)一根为2,则另一根为 .
13.(3分)把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛,那么物体经过x(s)时,离地面高度为h(m),h与x的函数关系为h=10x﹣,则物体回到地面的时间为 s.
14.(3分)芳芳家今年搬进了新房,新房外飘的凉台呈圆弧形(如图所示),她测得凉台的宽度AB为8m,凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m,则凉台所在圆的半径为 .
15.(3分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0,下列结论:①方程总有两个不等的实数根;②若两个根为x1,x2,且x1>x2,则x1>3,x2<3;③若两个根为x1,x2,则(x1﹣2)(x2﹣2)=(x1﹣3)(x2﹣3);④若x=5+p2+12(p为常数),则代数式(x﹣3)(x﹣2)的值为一个完全平方数,其中正确的结论是 .
16.(3分)如图,∠ABC=90°,AC=6,以AB为边长向外作等边△ABM,连CM,则CM的最大值为 .
三、解答题(共8小题,共72分)
17.(8分)解方程:x2﹣4x﹣7=0.
18.(8分)用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园,墙的长度为18m.
(1)设垂直于墙的一边长为xm,则是菜园的面积为 ;
(2)若菜园的面积为100m2,求x的值.
19.(8分)如图,点A、P、B、C为⊙O上四点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC形状并证明;
(2)将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB,请画出图形,直接写出PA,PB,PC三者之间的数量关系 .
20.(8分)如图,在8×8的正方形网格中,点A,B,C,P都在格点上,仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示).
(1)△ABC的形状为 ;
(2)在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°,画出图形;
(3)在图1中在AC上找一点M,使∠AMP=45°;
(4)在图2中作PN⊥AC,且PN=AC,若AC绕某一点旋转得到PN(P与C对应),在图中标出旋转中心O.
21.(8分)如图,AB为⊙O的直径,点C为BE的中点,CD⊥AE交直线AE于D点.
(1)求证:OC∥AD;
(2)若DE=1,CD=2,求⊙O的直径.
22.(10分)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出,如果每辆汽车的月租费每增加50元,,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计
1850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费﹣月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是 元;
(2)当每个公司租出的汽车为 辆时,两公司的月利润相等;
(3)求两公司月利润差的最大值.
23.(10分)问题背景:(1)如图1,等边△ABC,点P在△ABC左侧且∠APC=30°,将△APC绕点A顺时针旋转60°,画出图形.
探究思考:(2)在(1)的条件下,求证:PB=AC;
拓展创新:(3)如图2,等边△ABC,∠AMC=60°,AM=6,CM=4,直接写出BM的长 .
24.(12分)已知抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线x=m(0<m<4)交抛物线于M点,交BC于N点,且CM∥ON,求m的值;
(3)如图2,若点P为抛物线x轴下方一点,直线AP交y轴于M点,直线BP交y轴于N点,且OM•ON=254,求P点坐标.
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)将方程3x(x﹣1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式后,一次项系数是( )
B.﹣8x C.﹣8 D.﹣10
【解答】解:方程整理得:3x2﹣8x﹣10=0,其中一次项系数为﹣8,
故选:C.
2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
,又是中心对称图形,故本选项符合题意;
,不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:C.
3.(3分)抛物线y=12(x﹣6)2+3的顶点坐标为( )
A.(6,3) B.(﹣6,3) C.(3,3) D.(﹣3,32)
【解答】解:抛物线y=12(x﹣6)2+3的顶点坐标为(6,3).
故选:A.
4.(3分)方程2x2﹣3x-32=0的根的情况是( )
【解答】解:∵方程2x2﹣3x-32=0中,
Δ=(﹣3)2﹣4×2×(-32)=9+12=21>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
5.(3分)将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线为( )
=(x+3)2+5 =(x﹣3)2+5 =(x+5)2+3 =(x﹣5)2+3
【解答】解:由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=x2+3;
由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣5)2+3;
故选:D.
6.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'恰好落在BC边上,且AB'=CB',则∠C'的度数为( )
° ° ° °
【解答】解:∵AB'=CB',
∴∠C=∠CAB',
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C,
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',
∴∠C=∠C',AB=AB',
∴∠B=∠AB'B=2∠C,
∵∠B+∠C+∠CAB=180°,
∴3∠C=180°﹣108°,
∴∠C=24°,
∴∠C'=∠C=24°,
故选:C.
7.(3分)如图,AB为⊙O的直径,点C、D、E在⊙O上,且AD=CD,∠E=70°,则∠ABC的度数为( )
° ° ° °
【解答】解:如图,连接OD,BD.
∵AD=CD,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠DOB=2∠DEB=140°,
∴∠OBD=∠ODB=20°,
∴∠ABC=2∠OBD=40°,
故选:B.
8.(3分)某机械厂七月份生产零件50万个,、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )
(1+x2)=196
+50(1+x2)=196
+50(1+x)+50(1+x)2=196
+50(1+x)+50(1+2x)=196
【解答】解:依题意得八、九月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2,
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.
故选:C.
9.(3分)如图,⊙O的直径AB为10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D点,交AB于E点,则DE的长为( )
【解答】解:过点E作EG⊥AC于点G,EJ⊥CB于J,连接OD.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC=AB2-AC2=102-62=8,
∵CD平分∠ACB,EG⊥AC,EJ⊥CB,
∴EG=EJ,
∴S△AECS△CEB=AEEB=12⋅AC⋅EG12⋅BC⋅EJ=34,
∴AE=37×10=307,
∵OA=5,
∴OE=OA﹣AE=5-307=57,
∵∠ACD=∠BCD,
∴AD=DB,
∴OD⊥AB,
∴DE=OE2+OD2=(57)2+52=2527,
故选:C.
10.(3分)函数y=|ax2+bx|(a<0)的图象如图所示,下列说法正确的是( )
|ax2+bx|=k有四个不等的实数根
+b>1
+b>0
+3b<1
【解答】解:由图象可得|ax2+bx|=k有无实数根与k的大小有关,实数根可能有0个,2个,3个,4个.
∴选项A错误,不符合题意.
∵x=1时,y<1,
∴|a+b|<1,
∴﹣1<a+b<1,
∴选项B错误,不符合题意.
∵图象对称轴为直线x=-b2a,且0<-b2a<1,a<0,
∴b<﹣2a,即2a+b<0,
∴选项C错误,不符合题意.
由图象可得0<x≤1时,y=ax2+bx,
x≥2时,y=﹣ax2﹣bx,
∴x=1时,a+b<1①,
x=2时,﹣4a﹣2b>0②,
由①﹣②得5a+3b<1,
∴选项D正确,符合题意.
故选:D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)点A(2,﹣1)关于原点对称的点B的坐标为 (﹣2,1) .
【解答】解:∵关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,
∴点A(2,﹣1)关于原点的对称点的坐标为(﹣2,1).
故答案为:(﹣2,1).