定积分练习题.pdf

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题型



内容




—莱布尼茨公式


题型
题型I利用定积分定义求极限
题型II比较定积分的大小
题型III利用积分估值定理解题
题型IV关于积分上限函数以及牛顿—
莱布尼茨公式问题
题型V定积分的计算:.
题型VI积分等式证明
题型VII积分不等式证明
题型VIII广义积分的计算
自测题五





4月21日定积分练****题
基础题:
、填空题
1p2p3p.......np
(p0)表示成定积分()
nnP1
111111x
A.dxB.xpdxC.()pdxD.()pdx
0x00x0n
111
(.........)表示为定积分.
nn1n22n
()
11111
A.xdxB.(x1)dxC.1dxD.dx
00002
1
4.|x24|dx=()
0
21222325
.
3333
3
cosx,x[0,]与坐标周围成的面积()
2
5

2:.
1
6.(exex)dx=()
0
121

eee
1e1
exdx,ndx,则m与n的大小关系是()
01x

mm
,两质点间的吸引力Fk12,k为常数,m,m为两质点的质量,
r212
r为两点间距离,若两质点起始距离为a,质点m沿直线移动至离m的距离为b处,试求
12
所作之功(b>a).
x2:
12121202
①(x1)dx;②(1x)dx;③2(x1)dx;④2(1x)dx.
1101
则S等于()
A.①③B.③④C.②③D.②④
x
(sintcostsint)dt,则y的最大值是()
0
7
.
2
11172f(x)
(x)是一次函数,且f(x)dx5,xf(x)dx,那么dx的值是
0061x
.
x
tf(t)dt

(x)0,x0,其中f(x)在x0处连续,且f(0)0若F(x)在
x2

c,x0
x0处连续,则c()。
(A).c0;
(B).c1;
(C).c不存在;
(D).c:.
x
tf(t)dt

(x)0,x0,其中f(x)在x0处连续,且f(0)0若F(x)在
x2
c,x0
x0处连续,则c()。
(A).c0;
(B).c1;
(C).c不存在;
(D).c1.
(x)dx0且f(x)在[a,b]连续,则()。

a
(A).f(x)0;
(B).必存在x使f(x)0;
(C).存在唯一的一点x使f(x)0;
(D).不一定存在点x使f(x)0。

sinxx
(x)3,则f(x)cos2xdx()
0
0其余
33
(A)(B)(C)1(D)-1
44
d
16.2sinx2dx=________
dx0

sinxsin3xdx等于_______
0

cosxcos3xdx等于()
0
3
(A)0(B)
2
44
(C)(D)
33

2|sinxcosx|dx等于()
0
(A)0(B)1:.
(C)21(D)2(21)
2
max{x3,x2,1}dx等于()
2
(A)0(B)4
1697
(C)(D)
312
2x
x2t
(x)ln(1t)dt,g(x)arcsindt,则当x0时,f(x)是g(x)的()
2
00
(A)同阶无穷小,但不等价
(B)等价无穷小
(C)低价无穷小
(D)高价无穷小
x
(x)etcostdt,则F(x)在[0,]上有()
0

(A)F()为极大值,F(0)为最小值
2

(B)F()为极大值,但无最小值
2

(C)F()为极小值,但无极大值
2

(D)F()为最小值,F(0)为最大值
2
综合题:
1x212
(1)dx(2)ln(1x)dx(3)(x24x2xcos5x)dx
0x2x202
edx2dx
(4)(5)
ex(1lnx)lnx03
(32xx2)2
1
2
(6)2tan2x[sin22xln(x1x2)]dx(7)dx

024x2
2
(8)已知函数f(x)在[0,2]上二阶可导,且:f(2)1,f'(2)0及
21
f(x)dx4,求:x2f''(2x)dx
00:.
arctanxdx3dx

(9)dx(10)(11)2
x2ex1e3x1
11xx2
2
xx
1t2dtsintdt
1
(12)(1x2)10dx(13)求极限lim(00)
1x0xx2
nnn
(14)用定积分定义计算极限:lim(...)
nn21n222n2n2
xdy
(15)设隐函数yy(x)由方程x3et2dty3ln40所确定,求:
0dx
2x2
(et1)dt

0x0
(16)设f(x),问当A为何值时,f(x)在x0点
x2

Ax0
处可导,并求出f'(0).

(17)设f(x)cos4x22f(x)dx,其中f(x)为连续函数,试求:f(x)
0
ax2

(18)设正整数a,且满足关系lim()xxe4xdx,试求a的值。
ax1
x0
a
4月22日定积分练****题
基础题:
(x)dxf()(ba),其中()。

a
(A)是[a,b]内任一点;
(B).是[a,b]内必定存在的某一点;
(C).是[a,b]内唯一的某一点;
(D).是[a,b]的中点。
12
2.(1x)1xdx()
1

(A)(B)(C)2(D)
24

12
C[0,1],且f(x)dx2,则2f(cosx)sin2xdx()
00:.
(A)2(B)3(C)4(D)1
b
(x)在[a,b]上连续,且f(x)dx0,则()。
a
(A)在[a,b]的某个子区间上,f(x)0;
(B)在[a,b]上,f(x)0;
(C)在[a,b]内至少有一点c,f(c)0;
(D)在[a,b]内不一定有x,使f(x)0。
2
5.x32x2xdx=()
0
4
(A)(22)
15
4
(B)(22)
15
4282
(C)
35
4282
(D)
35
dlnx
6.ln(1t)dt=()
dx
2x
1
(A)ln(1lnx)2ln(12x)
x
1
(B)ln(1lnx)ln(12x)
x
(C)ln(1lnx)ln(12x)
(D)ln(1lnx)2ln(12x)

2
(1cosx)x0
x2

(x)1x0,则f(x)在x0点()
1x
cost2dtx0
x

0
(A)连续,但不可导
(B)可导,但导函数不连续:.
(C)不连续
(D)导函数连续
ex
1
dx()
11ex
(A)1
1e
(B)
1e
1e
(C)
1e
(D)1
填空、选择题

(1)2sin8xdx_______,2cos7xdx_______,
00
x
tsintdt
(2)lim0______;
x0ln(1x)
2
(3)x22xdx_______;
1
x
(4)曲线yt(1t)dt的上凸区间是_______;
1
0
(5)1cos2xdx_______;


(6)设f(x)是连续函数,且f(x)sinxf(x)dx,则:f(x)______;
0
1
(7)x(1x2005)(exex)dx______;
1
1x1
(8)limln(1)dt_______;
xx1t
x2
(9)设函数y(t1)et2dt的极大值点为_______;
0
xx1
(10)设正值函数f(x)在[a,b]上连续,则函数F(x)f(t)dtdt
f(t)
ab
在(a,b)上至少有___个根
(A)0(B)1(C)2(D)3
x21
x4
(11)f(t)dt,则:f(x)dx______;
040x
(A)16(B)8(C)4(D)2:.
21
(12)dx_______
1x2
311
(A)(B)(C)(D)不存在
222
1
(13)dx________
1xx21

(A)0(B)(C)(D)发散
24
4月23日定积分练****题


32
(1)(4xx2)dx;(2)(x1)5dx;(3)2(xsinx)dx;(4)2cos2xdx;
11
0
2
π1x22dx
211e
(5)2cosd(2x3)dxdx
2(6);(7)1x2;(8)xlnx;
000e
exex1dx
1294
dx3tanxdx(x)dx;;
(9)2;(10)(11)(12)
004x01x
1dx
e25x1
(lnx)dx2cosxsin2xdx;(15)2esinxdx;(16);
(13)1x(14)(x2x1)3/2
000
e
cosxdx
1
2dx;(18);
(17)1sin2xexex
00
:
x2
(etdt)2
1x
(1)limcost2dt;(2)lim0.
x0x2
x0xe2tdt
0
:.

111
limn;
(1)
(n1)2(n2)2(nn)2
n
111
limn();
(2)n21(n22)2n2
n

dx
()设1f'(x)在(,)上连续,证明:((xt)f'(t)dt)f(x)f(a)。
dxa
sin3xcos3x
(2)证明:2dx2dx,并求出积分值。
0sinxcosx0sinxcosx

(3)设函数f(x)在[0,]上连续,且f(x)dx0,f(x)cosxdx0试证明在(0,)内至少
00
存在两个不同的点,,使f()f()0
1212
x
(作辅助函数F(x)f(t)dt,x(0,),再使用积分中值定理和Rolle定理)
0
1
(4)设f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)22xf(x)dx,证明:必存在点(0,1),
0
f()
使得f'()(利用积分中值定理和Rolle定理证明)

4月24日定积分练****题
一、填空题:
b
[a,b]上,f(x)1,则f(x)dx.
a
1
2.(2x3)dx.
0
x2
(x)sintdt,则f(x).
0
1t2
(x)edt,则f(x).
cosx:.
2
5.cos5xsinxdx
0

6.2sin2n1xdx.


2
1
7.dx.
1x3
33
,x2dxx3dx.
11
sinx与x轴,在区间[0,]上所围成的曲边梯形的面积为.
x2在区间[0,1]上的弧长为.
二、选择题:
3
(x)仅在区间[0,4]上可积,则必有f(x)dx=[]
0
2313
(x)dxf(x)(x)dxf(x)dx
0201
53103
C.f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx
05010
12
=xdx,I=x2dx,则[]
1021
I
12121212
x3dy
y(t1)(t2)dt则x0
3.
0dx
.-
a
(23x)dx2,则a
0
.-
x2(x0)
1
(x)=则f(x)dx=[]
x(x0)1
012
xdx
10
120102
+xdx
0101
x
sint2dt
lim0
6.
x0x2
11

23:.
x
(x)etcostdt,则F(x)在[0,]上有()
0

(E)F()为极大值,F(0)为最小值
2

(F)F()为极大值,但无最小值
2

(G)F()为极小值,但无极大值
2

(H)F()为最小值,F(0)为最大值
2
x
xsintdt
dy
0确定了y是x的函数,则()
tdx
ycostdt

0
(A)cott(B)tant
(C)sint(D)cost
x22
(x)是区间a,b上的连续函数,且f(t)dtx3,则f(2)()
1
(A)2
(B)-2
1
(C)
4
1
(D)
4
1ln(1x)
dx=()
01x2

(A)1(B)
2

(C)ln2(D)ln2
8
tan2x
4dx=()
1ex

4
11
(A)(B)
242

(C)1(D)1
24
()
x1
(A)dx发散(B)dx收敛
01x201x2:.
xx
(C)dx0(D)dx发散
1x21x2

R[a,b],则极限limf(x)|sinnx|dx等于()
n
0
2
(A)2f(x)dx(B)f(x)dx

00
1
(C)f(x)dx(D)不存在

0
x2
x
(x)为连续函数,且满足f(tx)dtex1,则f(x)()。
02
(A)xex
(B)xex
(C)xex
(D)xex
xx1
C[a,b),F(x)f(t)dtdt,则F(x)0在
abf(x)
(a,b)内根的个数为()
(A)0(B)1
(C)2(D)3
bn
f(x)dxlimf()x,以下哪些任意性是错误的()
ii
a0
i1
maxx0f()x
(A)随然要求当时,的极限存在且有限,但极限值仍是
iii
i
i
任意的。
(B)积分区间[a,b]所分成的分数n是任意的。
(C)对给定的份数n,如何将[a,b]分成n份的分法也是任意的,即除区间端点
ax,bx外,各个分点xxx的取法是任意的。
0n12n1
(D)对指定的一组分点,各个[x,x]的取法也是任意的。
ii1i:.
dlnx
17.ln(1t)dt=()
dx
2x
1
(D)ln(1lnx)2ln(12x)
x
1
(E)ln(1lnx)ln(12x)
x
(F)ln(1lnx)ln(12x)
(D)ln(1lnx)2ln(12x)
dx22
18.(t1tdt)()
dx1
(A)x21x(B)x21x2
(C)x41x2(D)2x51x2
:
dx22
1.1t2dt2.sinxdx
dx00
x2
(etdt)2
1dx
3.
02x0x2
4xte2tdt
0
a14dx
5.dx(a0)6.
0x2a21xx
t2
11x
.edx
00