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【经典例题】二次函数根的分布.docx

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一、知识点
二次方程根的散布与二次函数在闭区间上的最值概括

况布





(
a0
)









(
a0
)






讨合
论结

)(


一元二次方程ax2bxc0根的散布状况
表一:(两根与0的大小比较即根的正负状况)
两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于
x10,x20x10,x200,一个大于0x10x2
0
0
b
b
f00
0
0
2a
2a
f00
f00
0
0
b
0
b
0
f
0
0
2a
2a
f
0
0
f
0
0
0
0
b
0
b
0
a
f0
0
2a
2a
a
f0
0
a
f
0
0








(
a0
)









(
a0
)






讨合
论结

)(


表二:(两根与k的大小比较)
两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k,一个大于k即
x1k,x2kx1k,x2kx1kx2
k
kk
0
0
b
b
k
fk0
k
2a
2a
fk0
fk
0
0
0
b
k
b
k
f
k
0
2a
2a
f
k
0
f
k
0
0
0
b
k
b
k
a
fk
0
2a
2a
a
fk
0
a
f
k
0

布两根都在m,n内






(
a0
)
0

f
m
0

f
n
0


b

m
n
2a




(
a0
)
0

f
m
0

f
n
0


b

m
n
2a

讨合
论结
——————
a

)(


两根有且仅有一根在m,n

(图象有两种状况,只画了一种)
fmfn0
fmfn0
fmfn0

一根在m,n内,另一根在p,q
内,mnpq
f
m
0
f
n
0
f
m
f
n
0
f
p
0

p
f
q
0
f
f
q
0
f
m
0
f
n
0
f
m
f
n
0
f
p
0

p
f
q
0
f
f
q
0
f
mf
n
0
f
pf
q
0
表三:(根在区间上的散布)
二、经典例题
例1:(实根与散布条件)已知,是方程x2(2m1)x42m0的两个根,且
,务实数m的取值范围。
变式:对于
x
的方程
(1
m
2
)
x
2
mx
0,一个大于
1,求
m

210的两个根,一个小于
取值范围。
例2:(动轴定区间)函数f(x)x22ax3在区间1,2上是单一函数,则a的取值范围
是?
变式2:函数
f
x
2
x
2
kx
3在
1,
上是增函数,务实数
k的取值范围。
()
列3:(定轴动区间)求函数f(x)x22ax1在0,2上的值域。
变式3:已知函数
)
4
2
2
2在区间
f
x
x
ax
aa
0,2
上有最小值
3,务实数
a
的取
(
4
2
值范围。
例4:(定轴动区间)已知二次函数f(x)x22x3,若f(x)在t,t1上的最小值为
g(t),求g(t)的表达式。
变式

4:已知二次函数

f(x)知足

f(1

x)

f(1

x)

,且

f(0)

0,f(1)

1,若

f(x)

在区
间m,n

上的值域是

m,n

,求

m,n的值。
例5:(恒建立问题)已知函数f(x)x2mx1,若对于随意xm,m1,都有f(x)0
建立,务实数m的取值范围。
变式5:已知函数f(x)
x2
mx1在(1
,2)上恒大于
0,务实数m的取值范围。
2
三、课后练****br/>1、已知二次方程
2m1x2
2mxm10有一正根和一负根,务实数
m的取值范
围。
2、函数fxax22ax2ba0在2,3上有最大值5和最小值2,求a,b的值。
3、议论函数fxx2xa1的最小值。
4、已知函数

f(x)

mx2

x1的图像与

x轴的交点起码有一个在原点的右边,务实数

m
的取值范围。
5、已知函数f(x)x2ax3,当x1,1时,f(x)a恒建立,求a的取值范围。