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5-2四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元得位移插值函数可以写成(以x方向得位移插值函数为例)
对于边界来讲,将
带入上式,经简化可得
上式中有三个待定系数,由所在单元得节点场变量值确定,但就是不能由这个单元得这条边界得两个节点得场变量值唯一确定,因此相邻两单元在同一边界上得位移表达式并不一致,使相容性条件不能得到满足。
这种情况该怎样处理?
我们知道,矩形单元满足相容性条件。
以图示为例。它有四个节点,各条边与总体坐标轴平行。单元内任意一点得位移插值函数可以包含四个待定系数
在矩形单元得任意一条边上,把该边得方程
或
带入上式,总可以得到
或
上式只含有两个未知参数,由边界上得两个节点得位移值唯一确定。
可见矩形单元得特点:
(1)矩形单元满足相容性条件。
(2)含有一次项与常数项,故也满足收敛性条件。
(3)单元插值函数含有交叉项xy,比三节点三角形单元得阶次要高。
如果通过坐标变换,将任意四边形单元变换成矩形单元,只要在坐标变换中,任意四边形单元与矩形单元之间得点就是一一对应得(称为坐标变换得几何相容性),而变换后得位移插值函数又满足解得收敛性条件,这两条合在一起,就能保证任意四边形在原坐标系中满足解得收敛性条件。
即:使四节点四边形单元满足解得收敛性得途径就是
(1)将四边形通过坐标变换,转化为矩形单元;(几何相容)
(2)以四边形节点位移值作为矩形单元得节点位移值。(收敛性要求)
以上两条结合,即可保证四节点四边形单元得几何相容性与有限元解得连续性。
在建立四边形与矩形单元得坐标变换关系时应注意:四边形单元定义在总体坐标系中,而矩形单元定义在局部坐标系中。坐标系得变换就是一个四边形单元到一个矩形单元得变换。矩形单元得局部坐标系,仅仅适用于每个要变换得单元。
为此,首先讨论局部坐标系下得位移插值函数、形状函数与收敛性条件,然后再讨论具体得坐标变换。
根据前述,矩形单元四个节点得位移值,就就是原四节点四边形单元得节点处得位移值。因此,局部坐标系下得矩形单元内任意一点得位移可以表示为
或者
将
与节点坐标带入位移插值函数表达式,可得