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会集
(1)元素与会集的关系:属于()和不属于()
(2)会集中元素的特征:确立性、互异性、无序性
会集与元素
(3)会集的分类:按会集中元素的个数多少分为:有限集、无穷集、空集
(4)会集的表示方法:列举法、描绘法(自然语言描绘、特***质描绘)、图示法、区间法
子集:若
x
A
x
,则
A
,即是的子集。
B
B
A
B
、若会集中有个元素,则会集的子集有
n个,真子集有
(2
n
-1)
个。
1
A
n
A
2
、任何一个会集是它自己的子集,即
A
A
注2
关系
、关于会集
A,B,C,
假如
A
,且
C,
那么
AC.
3
B
B
、空集是任何会集的(真)子集。
4
真子集:若
且
(即最少存在
x0
B
但
x0
),则是的真子集。
会集
ABAB
A
AB
会集相等:
A
且
A
B
A
B
B
会集与会集
定义:
A
B
x/x
且
x
B
交集
A
性质:
,
,
,
,
AAAA
ABBAABA,ABBABABA
定义:
A
B
x/x
或
x
B
并集
A
性质:
,
,
,
,
,
运算
AAAA
AABBAABAABBABABB
Card(AB)Card(A)
Card(B)-Card(A
B)
定义:CUA
x/x
U且x
A
A
补集性质:
A)
A
,
A
U
,
CU
(CUA)
,
,
(CU
(CUA)
ACU(AB)(CUA)
(CUB)
CU(AB)(CUA)(CUB)
函数
映照定义:设A,B是两个非空的会集,假如按某一个确立的对应关系,使关于会集A中的任意一个元素x,
在会集B中都有独一确立的元素y与之对应,那么就称对应f:B为从会集A到会集B的一个映照
传统定义:假如在某变化中有两个变量x,y,并且关于x在某个范围内的每一个确立的值,
函数
函数及其表示
函数的基天性质
定义依据某个对应关系f,y都有独一确立的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(x).
近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映照。
定义域
函数的三因素
值域
对应法规
分析法
函数的表示方法
列表法
图象法
传统定义:在区间
a,b上,若a
x
x
2
b,如f(x)
f(x
2
),则f(x)在a,b上递加,
a,b是
递加区间;如f(x)
1
1
单调性
f(x
2
),则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。
1
(x)
f(x)0
导数定义:在区间
a,b上,若f
0,则f(x)在a,b上递加,a,b是递加区间;如
则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。
最大值:设函数
y
f(x)的定义域为I,假如存在实数
M满足:(1)关于任意的
xI,都有f(x)M;
最值
(2)存在xI,使得f(x
0
)M。则称M是函数yf(x)的最大值
y
0
xI,都有f(x)N;
最小值:设函数
f(x)的定义域为I,假如存在实数
N满足:(1)关于任意的
(2
)存在xI,使得f(x
0
)N。则称N是函数y
f(x)的最小值
(1)
f(
x)
f(x),x定义域D,则f
0
(x)叫做奇函数,其图象关于原点对称。
奇偶性(2)
f(
x)
f(x),x定义域D,则f(x)叫做偶函数,其图
象关于y轴对称。
奇偶函数的定义域关于原点对称
周期性:在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数,T为周期;T的最小正当叫做f(x)的最小正周期,简称周期
(1)描点连线法:列表、描点、连线
函数图象的画法
平移变换
伸缩变换
向左平移
个单位:y
y,x
a
x
y
f(xa)
1
1
a
x
y
f(xa)
向右平移a个单位:y
y,x
1
1
b
y
y
b
f(x)
向上平移b个单位:x
x,y
1
1
b
y
y
b
f(x)
向下平移b个单位:x
x,y
1
1
x缩短(当w1时)或伸长(当
0w1时)
横坐标变换:把各点的横坐标
1
x
wx
y
f(wx)
到本来的1/w倍(纵坐标不变),即
纵坐标变换:把各点的纵坐标
1
0
A1)到本来的A倍
y伸长(A1)或缩短(
(横坐标不变),
1
y/Ay
f(x)
即y
1
(2)变换法
对称变换
关于点(x
,y
0
)对称:x
x1
2x0
0
y
y1
2y0
关于直线x
x对称:x
x12x0
0
y
y1
关于直线y
y
对称:xx1
2y0
0
y1
y
关于直线y
x对称:
x
x1
yf
y
y1
x1
2x0x
2y0yf(2x0x)
y12y0y
x12x0x
yf(2x0x)
y1y
x1
x
2y0yf(x)
y1
2y0y
1(x)
附:
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指
数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数ytanx中xk(kZ);
2
余切函数ycotx中;6、假如函数是由实质意义确立的分析式,应依据自变量的实质意义确立其取
值范围。
二、函数的分析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法
三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、鉴识式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法
四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法
五、函数单调性的常用结论:
1、假设f(x),g(x)均为某区间上的增〔减〕函数,那么f(x)g(x)在这个区间上也为增〔减〕
函数
2、假设f(x)为增〔减〕函数,那么f(x)为减〔增〕函数
3、假设f(x)与g(x)的单调性相同,那么yf[g(x)]是增函数;假设f(x)与g(x)的单调性
不一样,那么yf[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、假如一个奇函数在x0处有定义,那么f(0)0,假如一个函数yf(x)既是奇函数又是
偶函数,那么f(x)0〔反之不行立〕
2、两个奇〔偶〕函数之和〔差〕为奇〔偶〕函数;之积〔商〕为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积〔商〕为奇函数。
4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数,只要此中有一个是偶函数,那么该复合函
数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、假设函数f(x)
的定义域关于原点对称,那么f(x)
可以表示为
1
1
f(x)[f(x)f(x)]
[f(x)f(x)],该式的特色是:右端为一个奇函数和一个偶函
2
2
数的和。
零点:关于函数
y
()我们把使
f(x)
0
的实数
x
叫做函数
y
f(x)
的零点。
fx,
定理:假如函数y
f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不停的一条曲线,并且有f
(a)
f(b)
0,
零点与根的关系
那么,函数y
f(x)在区间[a,
b]内有零点。即存在c
(a,b),使得f(c)
0,
这个c也是方
程f(x)
0的根。(反之不行立)
关系:方程f(x)
0有实数根
函数y
f(x)有零点
函数y
f(x)的图象与x轴有交点
函数与方程
(1)确立区间[a,b],考据f(a)f(b)
0,
给定精确度
;
(2)求区间(a,b)的中点c;
函数的应用
(3)计算f(c);
二分法求方程的近似解
①若f
(c)
0,则c就是函数的零点;
②若
f(a)
f(c)
0,
则令
b
(此时零点
x
(a,b)
);
c
0
③若
f(c)
f(b)
0,
则令
a
(此时零点
x
(
c
,
b
));
c
0
(4)判断能否达到精确度
:即若
a-b
,则获取零点的近似值
a(或b);
不然重复2
4。
几类不一样的增加函数模型
函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
建立实质问题的函数模型
根式:n
a
,n为根指数,
a为被开方数
n
am
m
a
n
分数指数幂
指数的运算
ar
as
ar
s
(a
0,
r,
s
Q
)
指数函数
性质
(ar)
s
ars
(a
0,
r
,s
Q)
(ab)r
arbs(a
0,b
0,r
Q)
指数函数
定义:一般地把函数
y
a
x(a
0且a
1)
叫做指数函数。
性质:见表
1
对数:
x
log
a
N
,a为底数,
N为真数
基本初等函数
log
a
(M
N
)
log
a
M
log
a
N
;
M
log
a
log
a
M
log
a
N
;
对数的运算
N
.
性质
n
对数函数
log
M
n
log
M
;(a
0,
a
1,M
0,
N0)
a
a
换底公式:
log
b
log
c
b
0且a,c
1,b0)
a
log
(a,c
c
a
对数函数
定义:一般地把函数
y
log
a
x(a
0且a
1)叫做对数函数
性质:见表
1
定义:一般地,函数
y
x
叫做幂函数,
x是自变量,
是常数。
幂函数
2
性质:见表
表
指数函数
y
ax
a
0,a
1
对数数函数
y
log
a
x
a
0,a
1
1
定
义
xR
x0,
域
值
y0,yR
域
图
象
过定点(0,1)
过定点(1,0)
减函数
增函数
减函数
增函数
x
(
,0)
时,
y
(1,)x
(
,0)
时,
y
(0,1)
x
时,
y
(0,
)
x
时,
y
(
,0)
(0,1)
(0,1)
x
(0,
时,
y
(0,1)
x
(0,
时,
y
(1,
)
x
(1,
时,
(
,0)
x
(1,
时,
y
(0,)
)
)
)y
)
性
质
ab
abab
ab
表2
幂函数y
x(
R)
p
0
1
1
1
0
q
p为奇数
奇函数
q为奇数
p为奇数
q为偶数
p为偶数
q为奇数
偶函数
第一象限
减函数
增函数
(01,)
过定点
性质
高中数学必修2知识点
一、直线与方程
〔1〕直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与
x轴平行或重合时,
我们规定它的倾斜角为
0度。所以,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
〔2〕直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用
k表示。即
k
tan。斜率反响直线与轴的倾斜程度。
当
0,90时,k
0;
当
90,180时,k0;当90
时,k不存在。
②过两点的直线的斜率公式:
k
y2
y1(x1x2)
x2
x1
注意下边四点:(1)当x1x2
时,公式右侧无心义,直线的斜率不存在,倾斜角为
90°;
k与P1、P2的序次没关;(3)今后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获取。
3〕直线方程
①点斜式:yy1k(xx1)直线斜率k,且过点x1,y1
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为
90°时,直线的斜率不存在,
l上每一点的横
坐标都等于x,所以它的方程是x=x。
1
1
②斜截式:y
kx
b,直线斜率为
k,直线在y轴上的截距为
b
③两点式:
y
y1
x
x1
〔x1
x2,y1y2〕直线两点x1,y1
,x2,y2
y2
y1
x2
x1
④截矩式:
x
y
1
a
b
此中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式:Ax
By
C
0〔A,B不全为
0〕
注意:○1各式的适用范围
○2特别的方程如:
平行于x轴的直线:y
b〔b为常数〕;
平行于y轴的直线:xa〔a为常数〕;
5〕直线系方程:即拥有某一共同性质的直线〔一〕平行直线系
平行于直线A0xB0yC00〔A0,B0是不全为0的常数〕的直线系:A0xB0yC0〔C为常数〕
〔二〕过定点的直线系
〔ⅰ〕斜率为k的直线系:y
y0
kx
x0
,直线过定点
x0,y0;
〔ⅱ〕过两条直线l1:A1x
B1y
C1
0
,l2:A2x
B2y
C2
0的交点的直线系方程为
A1xB1y
C1
A2xB2y
C2
0〔
为参数〕,此中直线l2不在直线系中。
〔6〕两直线平行与垂直
当l1:yk1x
b1,l2:yk2x
b2时,
l1//l2
k1k2,b1
b2;l1
l2
k1k2
1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
〔7〕两条直线的交点
l1:A1xB1yC1
0
l2:A2xB2yC2
0订交
交点坐标即方程组
A1x
B1y
C1
0的一组解。
A2x
B2y
C2
0
方程组无解
l1//l2;
方程组有无数解
l1与l2
重合
〔8〕两点间间隔
公式:设A(x1,y1),(B
x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,
那么|AB|
(x2
x1)2
(y2
y1)2
〔9〕点到直线间隔
公式:一点Px0,y0
到直线l1:Ax
By
C
0的间隔
Ax0
By0C
d
B2
A2
10〕两平行直线间隔公式
在任向来线上任取一点,再转变成点到直线的间隔进展求解。
二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到必定点的间隔
等于定长的点的会集叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
〔1〕标准方程
x
a2
y
b2
r2,圆心a,b,半径为r;
〔2〕一般方程x2
y2
Dx
Ey
F
0
当D2
E2
4F
0时,方程表示圆,此时圆心为
D,
E
,半径为r
1
D2
E2
4F
2
2
2
当D2
E2
4F
0
时,表示一个点;
当D2
E2
4F
0时,方程不表示任何图形。
3〕求圆方程的方法:
一般都采纳待定系数法:先设后求。确立一个圆需要三个独立条件,假设利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;假设利用一般方程,需要求出D,E,F;
别的要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确立圆心的地址。
3、直线与圆的地址关系:
直线与圆的地址关系有相离,相切,订交三种状况,根本上由以下两种方法判断:
〔1〕设直线l:AxBy
C
0,圆C:xa
2
y
2
为
br2,圆心Ca,b到l的间隔
d
Aa
BbC,那么有d
r
l与C相离;d
r
l与C相切;dr
l与C订交
A2
B2
,圆C:xa2
b2
〔2〕设直线l:AxByC
0
y
r2,先将方程联立消元,获取一个一元二
次方程以后,令此中的鉴识式为
,那么有
0
l与C相离;0
l与C相切;
0
l与C订交
注:假如圆心的地址在原点,可使用公式
xx0yy0r2
去解直线与圆相切的问题,此中
x0,y0表
示切点坐标,r表示半径。
过圆上一点的切线方程:
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),那么过此点的切线方程为
xx0
yy0r2
(课本命题).
2
2
2
0,0
0
0
-b)(y-b)=r
2
(课本命题
②圆(x-a)+(y-b)
=r,圆上一点为(x
y),那么过此点的切线方程为
(x-a)(x-a)+(y
的推行).
4、圆与圆的地址关系:
经过两圆半径的和〔差〕,与圆心距〔d〕之间的大小比较来确立。
设圆C1:xa1
2
y
b1
2
r2,C2:xa2
2
yb2
2
R2
两圆的地址关系常经过两圆半径的和〔差〕,与圆心距〔d〕之间的大小比较来确立。
当dRr时两圆外离,此时有公切线四条;
当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当R
r
d
Rr时两圆订交,连心线垂直均分公共弦,有两条外公切线;
当d
R
r
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当d
R
r
时,两圆内含;
当d
0时,为齐心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的构造特色
〔1〕棱柱:定义:有两个面相互平行,其他各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平
行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各极点字母,如五棱柱ABCDEA'B'C'D'E'或用对角线的端点字母,如五棱柱AD'几何特色:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行
于底面的截面是与底面全等的多边形。
〔2〕棱锥
定义:有一个面是多边形,其他各面都是有一个公共极点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各极点字母,如五棱锥PA'B'C'D'E'
几何特色:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于极点到截面间隔
高的比的平方。
与
3〕棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的局部分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各极点字母,如五棱台PA'B'C'D'E'
几何特色:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的极点
〔4〕圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其他三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特色:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面睁开图是一个矩形。
〔5〕圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特色:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的极点;③侧面睁开图是一个扇形。〔6〕圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的局部
几何特色:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的极点;③侧面睁开图是一个弓形。
〔7〕球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特色:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的间隔等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图〔光辉从几何体的前面向后边正投影〕;侧视图〔从左向右〕、俯视图〔从上向下〕
注:正视图反响了物体上下、左右的地址关系,即反响了物体的高度和长度;俯视图反响了物体左右、前后的地址关系,即反响了物体的长度和宽度;侧视图反响了物体上下、前后的地址关系,即反响了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特色:①本来与x轴平行的线段依旧与
②本来与y轴平行的线段依旧与
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
x平行且长度不变;
y平行,长度为本来的一半。
1〕几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
2〕特别几何体表面积公式〔c为底面周长,h为高,h'为斜高,l为母线〕
S直棱柱侧面积
ch
S圆柱侧
2
rh
S正棱锥侧面积
1ch'
S圆锥侧面积
rl
1(c1
2
S正棱台侧面积
c2)h'
S圆台侧面积
(r
R)l
2
r2
rlRlR2
S圆柱表2
rr
l
S圆锥表
rr
l
S圆台表
〔3〕柱体、锥体、台体的体积公式
V柱
Sh
V圆柱
Sh
r
2
h
V锥
1
V圆锥
1r2h
Sh
3
3
V台
1(S'
S'SS)h
V圆台
1(S'
S'SS)h
1(r2
rRR2)h
3
3
3
〔4〕球体的表面积和体积公式:V球=4R3;S球面=4R2
3
4、空间点、直线、平面的地址关系