文档介绍：四川工程职业技术学院
数学教研室
《高等数学》 教学课件
第五章导数的应用
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
内容导航
前言
理论基础:中值定理
一阶导数的应用
二阶导数的应用
数学建模:最优化模型
第五章导数的应用
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
前言
本章我们进一步用导数来研究函数的特性,并由此解决一些实际问题。
导数可应用于求各种变化率,如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率,经济的边际等问题。
用数学解决实际问题,可统称为数学建模。
最后介绍微分的概念及应用
5-1 理论基础:中值定理
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
拉格朗日中值定理设函数由于y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则必定在(a,b)内至少存在一点x0使得
如图所示
x
y
0
b
a
x0
y=f(x)
5-1 理论基础:中值定理
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
例1 试证当x>0时,有
令f(t)=ln(1+t),则f(t)在[0,x]上满足拉格
朗日中值定理,则
其中
即
因为
所以
证
5-1 理论基础:中值定理
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
例2 试证当
有
则y=f(x)在[a,b]是增函数。
任
,由于
说明可用中值定理有
其中
由已知
,
故
,
证得f(x)在[a,b]递增。
证
在[a,b]存在;
应用此中值定理注意(构造)什么函数在什么区间上运用。
拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁。
5-2 一阶导数的应用
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
函数单调性的判定
设函数y=f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,那么
例3 判别函数的单调性
解
5-2 一阶导数的应用
精品课程
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第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
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第7章定积分应用
第8章微分方程
例4 求函数
的单调区间。
令
得
,
解
函数的定义域为
数轴上讨论,如图
x
-1
3
y’
y
+
_
+
在
区间取
代入
得
在
区间取x=0
代入
得
区间取
代入
得
在
得函数在
和
上递增;在
上递减。
5-2 一阶导数的应用
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
重要说明:
,
②解题步骤:
;
,求驻点xi
和奇点xi(y不可导的点,见下例);
首先求出函数的定义域,因为要把函数的定义域讨论完,
技巧是只须取一好计算的点x0,这有“投石问路”的方法技巧。
①确定函数单调区间的依据为:
的点)
(
③.数轴上以xi(驻点、奇点可统称为分界点)分区间讨论
正负号,得结论。
以及定义域外不讨论单调性;关于讨论一个区间上符号,
5-2 一阶导数的应用
精品课程
序言
第1章函数
第2章导数
第3章定积分
第4章求导方法
第5章导数应用
第6章求积分方法
第7章定积分应用
第8章微分方程
例5 确定
函数的定义域为
的单调区间。
解
由于
则无驻点;
则x=0为奇点
当x=0时
不存在,
(也可以是单调区间分界点)
讨论
得函数在
递减,
递增。