平面几何五大定理及其证明.docx

文档介绍：该【平面几何五大定理及其证明 】是由【1485173816】上传分享，文档一共【4】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【平面几何五大定理及其证明 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。1/4
平面几何定理及其证明
梅涅劳斯定理

G
定理:一条直线与ABC三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F,且D、E、F均不是ABC顶点,则有
.
证明:如图,过点C作AB平行线,交EF于点G.
因为CG//AB,所以————(1)
因为CG//AB,所以————(2)
由(1)÷(2)可得,即得.

定理:在ABC边AB、BC上各有一点D、E,在边AC延长线上有一点F,若,那么,D、E、F三点共线.
证明:设直线EF交AB于点D/,则据梅涅劳斯定理有
.
因为,、D/都在线段AB上,所以点D与D/、E、F三点共线.
塞瓦定理

定理:在ABC内一点P,该点与ABC三个顶点相连所在三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F,且D、E、F三点均不是ABC顶点,则有
.
证明:运用面积比可得.
根据等比定理有
,
2/4
,.
三式相乘得.

定理:在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F,且D、E、F均不是ABC顶点,若,那么直线CD、AE、BF三线共点.
证明:设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则据塞瓦定理有
.
因为,、D/都在线段AB上,所以点D与D/、E、F三点共线.
西姆松定理

定理:从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线.
证明:如图示,连接PC,连接EF交BC于点D/,连接PD/.
因为PEAE,PFAF,所以A、F、P、E四点共圆,可得FAE=FEP.
因为A、B、P、C四点共圆,所以BAC=BCP,即FAE=BCP.
所以,FEP=BCP,即D/EP=D/CP,可得C、D/、P、E四点共圆.
所以,CD/P+CEP=1800。而CEP=900,所以CD/P=900,即PD/BC.
由于过点P作BC垂线,垂足只有一个,所以点D与D/重合,即得D、E、F三点共线.
E
M
托勒密定理

定理:凸四边形ABCD是某圆内接四边形,则有
AB·CD+BC·AD=AC·BD.
证明:设点M是对角线AC与BD交点,在线段BD上找一点,使得DAE=BAM.
因为ADB=ACB,即ADE=ACB,所以ADE∽ACB,即得
,即————(1)
3/4
由于DAE=BAM,所以DAM=BAE,即DAC=BAE。而ABD=ACD,即ABE=ACD,所以ABE∽
,即————(2)
由(1)+(2)得
.
所以AB·CD+BC·AD=AC·BD.

定理:如果凸四边形ABCD满足AB×CD+BC×AD=AC×BD,那么A、B、C、D四点共圆.
证法1(同一法):
在凸四边形ABCD内取一点E,使得,,则∽.
可得AB×CD=BE×AC———(1)
且———(2)
则由及(2)可得∽.于是有
AD×BC=DE×AC———(3)
由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE).
据条件可得BD=BE+DE,,得,这说明A、B、C、D四点共圆.

定理:如果凸四边形ABCD四个顶点不在同一个圆上,那么就有
AB×CD+BC×AD>AC×BD
证明:如图,在凸四边形ABCD内取一点E,使得,,则∽.
可得AB×CD=BE×AC————(1)
且————(2)
则由及(2)可得∽.于是
AD×BC=DE×AC————(3)
由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)
因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理逆定理可知
AB×CD+BC×ADAC×BD
所以BE+DEBD,即得点E不在线段BD上,则据三角形性质有BE+DE>BD.
所以AB×CD+BC×AD>AC×BD.
欧拉定理

定理:设ΔABC重心、外心、垂心分别用字母G、O、、O、H三点共线(欧拉线),且满足.
证明(几何法):连接OH,AE,两线段相交于点G/;连BO并延长交圆O于点D;连接CD、AD、HC,设E为边BC中点,连接OE和OC,如图.
因为CD⊥BC,AH⊥BC,所以AH////DA.
4/4
所以,AHCD为平行四边形.
可得AH==2OE,所以AH=2OE.
因为AH//CD,CD//OE,所以AH///∽EOG/.
所以.
由,及重心性质可知点G/就是ABC重心,即G/与点G重合.
所以,G、O、H三点共线,且满足.