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上海历年高考数学压轴题题选.docx

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上海历年高考数学压轴题题选.docx

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上海历年高考数学压轴题题选
2012文)
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第
1小题满分4分,第
2小题满分6分,第3小题满分
8分
关于项数为m的有穷数列an
,记bk
max
a1,a2,...,ak
(k
1,2,...,m),即bk为a1,a2,...,ak中的最大值,
并称数列
bn是an的控制数列,如
1,3,2,5,5的控制数列是
1,3,3,5,5
(1)若各项均为正整数的数列
an
的控制数列为
2,3,4,5,5,写出所有的an
(2)设b
是a的控制数列,满足akbm
k
1
C(C为常数,k
1,2,...,m),求证:bk
ak(k
1,2,...,m)
n
n
1,1
an2
n(n
1)
(3)设m
100,常数a
,若an
(1)2
n,bn
是an的控制数列,
2
求(b1a1)(b2a2)
...
(b100a100)
2012理)
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
rr
关于数集X
1,x1,x2,...,xn
,其中0
x1
x2...xn,n2,定义向量集Y
aa(s,t),sX,tX,
ur
uur
ur
uur
0,则称X拥有性质P,比方1,1,2
拥有性质P
若对任意a1
Y,存在a2Y,使得a1
a2
(1)若x
2,且1,1,2,x
拥有性质P,求x的值
(2)若X拥有性质P,求证:1
X,且当xn
1时,x11
(3)若X拥有性质P,且x1
1
、x2
q(q
为常数),求有穷数列x1,x2,...,xn的通项公式
'.
.
2012春)
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
2011文)
23
、(
18
分)已知数列
{a
}
和{bn}
的通项公式分别为
a
3n6
b2n7
(
nN
*),将会集
n
n
,n
{x|x
an,n
N*}U{x|x
bn,n
N*}中的元素从小到大依次排列,组成数列
c1,c2,c3,L,cn,L。

求三个最小的数,使它们既是数列
{
an
}中的项,又是数列{b
}中的项;
n

c1,c2,c3,L,c40中有多少项不是数列
{bn}中的项?说明原由;

求数列{c
}的前
4n
项和S
(
n
N
*
)。
n
4n
(
2011理)
22
、(18分)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an
3n6,bn2n
7(n
N*),将会集
{x|xan,nN*}U{x|xbn,nN*}中的元素从小到大依次排列,组成数列
12
3n

c,c
,c,L,c,L
⑴求c1,c2,c3,c4;
⑵求证:在数列{cn}中、但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,L,a2n,L;
⑶求数列{cn}的通项公式。
'.
.
2011理)
23、(18分)已知平面上的线段l及点P,在l上任取一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离,
记作d(P,l)。

求点P(1,1)到线段l:xy
3
0(3x5)的距离d(P,l);

设l是长为2的线段,求点集
D
{P|d(P,l)
1}所表示图形的面积;

写出到两条线段l1,l2距离相等的点的会集
{P|d(P,l1)d(P,l2)},其中l1
AB,l2CD,
A,B,C,D是以下三组点中的一组。关于以下三组点只需选做一种,满分分别是①
2分,②6分,③8分;若选择
了多于一种的状况,则依照序号较小的解答计分。

A(1,3),B(1,0),C(
1,3),D(
1,0)。

A(1,3),B(1,0),C(
1,3),D(
1,
2)。
A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。
2011春)
(本题满分14分)本题公园小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分。
已知抛物线F:x24y
(1)△ABC的三个极点在抛物线F上,记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为kAB,kBC,kCA,
若A的坐标在原点,求kABkBCkCA的值;
(2)请你给出一个以P(2,1)为极点、其余各极点均为抛物线F上的动点的多边形,写出各多边形各边所在的
直线斜率之间的关系式,并说明原由。
说明:第(2)小题将依照结论的一般性程度给与不相同的评分。
(
2010文)
22
.(本题满分16分)本题共有
3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分
5分,第3小题满分
8分.
若实数x、y、m满足x
mym,则称x比y凑近m.
'.
.
(1)若x21比3凑近0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a2bab2比a3b3凑近2abab;
(3)已知函数f(x)的定义域Dxxk,kZ,,f(x)等于1sinx和1sinx中接
(x)的剖析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).
(2010理)
22.(本题满分18分)本题共有
3个小题,第1小题满分
3分,第2小题满分5分,第3小题满分
10分。
若实数x、y、m满足x
m
ym,则称x比y远离m.
(1)若x2
1比1远离0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数
a、b,证明:a3
b3
比a2b
ab2
远离2ab
ab;
(3)已知函数f(x)的定义域D
k
,k
Z,x

D,f(x)
等于sinx和cosx中
xx
2
4

f(x)的剖析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明)
.
2010文)
23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆
x2
y2
1(ab0),A(0,b)、B(0,
b)和Q(a,0)为
的三个极点.
的方程为
2
b2
a
uuur
1
uuur
uuur
(1)若点M满足AM
2
(AQ
AB),求点M的坐标;
'.
.
(2)设直线l1:y
k1x
p交椭圆
于C、D两点,交直线l2:y

k2
b2
a
2,证明:E
为CD的中点;
3
)设点
P
在椭圆
内且不在
x
轴上,如何构作过
PQ
中点
F
的直线
l
,使得
l
与椭圆
1
2
(
的两个交点P
、P
uuur
uuur
uuur
满足PP1
PP2
PQ?令a
10,b5,点P的坐标是(
-8,-1),若椭圆
上的点P1、P2
满足
uuur
uuur
uuur
PP
PP
PQ,求点P1、P2的坐标.
1
2
2010理)
23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
已知椭圆
x2
y2
1(a
b
0),点P的坐标为(
a,b).
的方程为
b2
a2
(1)若直角坐标平面上的点
M、A(0,
uuur
1uur
uur
b),B(a,0)满足PM
(PA
PB),求点M的坐标;
2
(2)设直线1
1
交椭圆

C

D
两点,交直线
l
2
2
x
于点
E
.若k
k
2
b2
,
l:ykxp
:yk
1
a2
证明:E为CD的中点;
(3)关于椭圆
上的点Q(acos,bsin
)(0
),若是椭圆
上存在不相同的两个交点
P1、P2满足
uuur
uuur
uuur
PP1
PP2
PQ,写出求作点
P1、P2的步骤,并求出使
P1、P2存在的
的取值范围.
2010春)
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分。
已知首项为x1的数列{xn}满足xn1
axn
(a为常数)。
xn1
(1)若关于任意的x1
1
,有xn2
xn关于任意的nN*都成立,求a的值;
(2)当a1时,若x1
0
,数列{xn}
是递加数列还是递减数列?请说明原由;
'.
.
(3)当a确定后,数列{xn}由其首项x1确定,当a2时,经过对数列{xn}的研究,写出“{xn}是有穷数列”
的一个真命题(不用证明)。
说明:关于第3题,将依照写出真命题所表现的思想层次和对问题研究的完满性,恩赐不相同的评分。
(2009理)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。
已知函数yf(x)的反函数。定义:若对给定的实数a(a0),函数yf(xa)与yf1(xa)互为
反函数,则称yf(x)满足“a和性质”;若函数yf(ax)与yf1(ax)互为反函数,则称yf(x)满足“a
积性质”。
(1)判断函数g(x)x21(x0)可否满足“1和性质”,并说明原由;
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)设函数yf(x)(x0)对任何a0,满足“a积性质”。求yf(x)的表达式。
(2009文)
23.(本题满分18
分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
已知an是公差为d的等差数列,
bn是公比为q的等比数列
(1)若an
3n
1,可否存在m,nN*,有am
am1
ak?请说明原由;
(2)若bn
aqn(

q
为常数,且
aq0
)对任意
存在
k
,有
m
m1k,试求

满足的充要条件;
a
m
bb
b
aq
(3)若an
2n
1,bn3n试确定所有的p,使数列
bn中存在某个连续
p项的和式数列中
an的一项,请证明.
2009理)
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分。
'.
.
已知an
是公差为d的等差数列,
bn是公比为
q的等比数列。
(1)
若an
3n
1,可否存在m、k
N*,有am
am1
ak?说明原由;
(2)
找出所有数列
an
和bn,使对所有n
N*,an1
bn,并说明原由;
an
(3)
若a1
5,d
4,b1
q3,试确定所有的
p,使数列
an中存在某个连续
p项的和是数列
bn中的一
项,请证明。
2008文)
21
.(本题满分18分)本题共有
3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6
分,第
3小题满分
8分.
已知数列{
an
}:
,
2
,
,
(
n
是正整数),与数列
{b
}:
,
,
1
,
a1
1a2
a3
ran3an
2
n
b11b2
0b3
b4
0,bn
4
bn(n是正整数).记Tn
b1a1b2a2
b3a3
Lbnan.
(
1)若a1
a2
a3
L
a12
64
,求r的值;
(
2)求证:当n是正整数时,
T12n
4n;
(
3)已知r
0
,且存在正整数
m
,使得在T12m1,T12m2,,,并指出哪
4
项为100.
2008理)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分7分,第3小题满分8分。
anc,an
3,
已知a1为首项的数列{an}满足:an1
a
.
n,an3,
d
(1)当a1
1,c
1,d
3时,求数列{an}的通项公式;
(2)当0
a1
1,c
1,d3时,试用a1表示数列{an}前100项的和S100;
(3)当0
a1
1,(m是正整数),c
1
,正整数d
3m时,求证:数列a2
1
,
m
m
m
'.
.
a3m2
1,a6m2
1,a9m2
1成等比数列当且仅当d3m。
m
m
m
2007文)
20
.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分
3分,第
2小题满分
6分,第3小题满分
9分.
若是有穷数列a1,a2,a3,L,am(m为正整数)满足条件
a1am,a2
am
1,,am
a1,即ai
ami1
(i1,2,L,m),我们称其为“对称数列”.
比方,数列1,2,5,2,1与数列8,4,,2,2,48都是“对称数列”.
(
1)设
bn
是7项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且
b1
2,
bn
的每一项;
(
2)设
cn
是49项的“对称数列”,其中c25,c26,L,c49是首项为1,公比为2
的等比数列,求cn
各项的和S;
(
3)设
dn
是100项的“对称数列”,其中d51,d52,L,d100
是首项为
2,
dn
前n项的
和Sn(n1,2,L,100).
2007理)
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分
3分,第2小题满分
6分,第3小题满分9分.
若是有穷数列a1,a2,a3,L,an(n为正整数)满足条件
a1an,a2
an1,,an
a1,即ai
ani1
(i1,2,L,n),我们称其为“对称数列”.比方,由组合数组成的数列
Cm0,Cm1,L,Cmm就是“对称数列”.
(1)bn
是项数为7的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1
2,
bn每一项;
(2)设
cn是项数为2k
1(正整数k1)的“对称数列”,其中ckck1
c2k
1
是首项为
50
,公差为
4
的等差
,
,L
,

cn各项的和为S2k
,S2k
1获取最大值?并求出
S2k1的最大值;
(3)关于确定的正整数
m
1
,写出所有项数不高出
2m
的“对称数列”,使得,,2,L,m1依次是该数列中连
122
2
续的项;当m1500时,求其中一个“对称数列”前
2008项的和S2008.
'.
.
2007文)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分.
我们把由半椭圆
x2
y
2
(x≥0)与半椭圆
y2
x2
1
(x≤0)合成的曲线称作“果圆”
,其中
a2
1
b2
c2
b2
a2
b2
c2,a
0,bc0.
如图,设点
0
,
F1
,
F2
是相应椭圆的焦点,
A
A
2和
B
B
是“果圆”

x
,
y
轴的交点,
M
是线段
F
1,
1,
2
A1A2的中点.
y
(1)若△F0F1F2是边长为
1的等边三角形,求该“果圆”的方程;
B2
.F2
y2
x2
(2)设P是“果圆”的半椭圆
b2
c2
..
1(x≤0)上任意一点.
O
.
M
x
A1
F0
A2
求证:当
PM获取最小值时,
P在点B1,B2或A1处;
F1
(3)若P是“果圆”上任意一点,求PM
获取最小值时点
P的横坐标.
B1
2007理)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
x2
y2
y2
x2
1(x≤0)
我们把由半椭圆
a2
b2
1(x≥0)与半椭圆
c2
合成的曲线称作“果圆”
,其中
b2
a2
b2
c2,a
0,bc0.
如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与
x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为
1的等边三角形,求“果圆”的方程;
y
B2
时,求b的取值范围;
(2)当A1A2
B1B2
.F2
a
.
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”:
可否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个
A1
O
.
F
0
A2x
椭圆上?若存在,求出所有可能的
k值;若不存在,说明原由.
F1
B1
'.
.
2007春)
(本题满分14分)
求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问
题的一个“逆向”问题.
比方,原来问题是“若正四棱锥底面边长为
4,侧棱长为
3,求该正四棱锥的体积”
.求出体积
16
后,它的一
3
个“逆向”问题能够是“若正四棱锥底面边长为
4,体积为16,求侧棱长”;也能够是“若正四棱锥的体积为
16,
3
3
求所有侧面面积之和的最小值”.
试给出问题“在平面直角坐标系
xOy中,求点
P(2,
1)
到直线
3x4y0
.
的距离”的一个有意义的“逆向”
问题,并解答你所给出的“逆向”问题.
(2007春)
21.(本题满分
18分)本题共有
3个小题,第
1小题4
分,第2小题6分,第3小题8
分.
我们在下面的表格内填写数值:先将第
1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列
an依次
填入第一列的空格内;尔后依照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”
的规则填写其余空格.
第1列
第2列
第3列
第n列
第1行
1
1
1
1
第2行
q
第3行
q2
第n行
qn1
(1)设第2行的数依次为B1,B2,L,Bn,试用n,q表示B1B2L
Bn的值;
(2)
设第3列的数依次为c1,c2,c3,L,cn,求证:关于任意非零实数
q,c1c32c2;
(3)
请在以下两个问题中选择一个进行研究
(只能选择一个问题,若是都选,被认为选择了第一问)
.
①可否找到q的值,使得(2)中的数列c1,c2,c3,L,cn的前m项c1,c2,L,cm(m3)
成为等比数列?
若能找到,m的值有多少个?若不能够找到,说明原由.
②可否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,还有不相同的两列数的前三项各自依次成等比数列?
并说明原由.
'.