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2018版高考数学复****高考专题打破六高考中的概率与统计问题文北师大版
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2018版高考数学大一轮复****高考专题打破六高考中的概率与统计
问题文北师大版
1.(2017·安阳质检)一射手对同一目标进行4次射击,
80
命中一次的概率为81,则此射手的命中率为( )
1
1
2
8
答案
C
4
80
分析
设此射手未命中目标的概率为
p,则1-p=
81,
因此
=
1
,故1-
p
=
2
.
p
3
3
,其规则如算法框图所示,则能输出数对(x,y)的概率是( )
π
π
π
π
B.
4
C.
6D.
2
答案
B
分析
依题意可行域为正方形,输出数对
(x,y)形成的图形为图中暗影部分,故所求概率为
1
2
2
=
4π
2
=π.
P
2
2
4
2·2
3.(2016·西安模拟
)红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这
6枚棋子按车、马、炮次序排
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成一列,记事件“每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后”为事件
A,则事件
A
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发生的概率为
(
)
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B.
12
C.
8
D.
6
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答案
C
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分析
红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这
6枚棋子按车、马、炮次序排成一列,基本
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事件总数n=2×2×2=8.
每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后为事件A,
则事件A包括的基本领件个数m=1,
1
∴事件A发生的概率P=n=8.
4.(2016·哈尔滨模拟)甲、乙、丙三人站成一排照相,则甲、乙两人相邻而站的概率为
________.
2
答案
3
分析
甲、乙、丙三人随机地站成一排有
(甲乙丙),(甲丙乙),(乙甲丙),(乙丙甲),(丙甲
4
2
乙),(丙乙甲)共6种排法,由概率计算公式得,甲、乙两人相邻而站的概率为
6=3.
为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目,对甲、乙两名运动员进行
培训,现分别从他们在培训时期参加的若干次初赛成绩中随机抽取6次,获取茎叶图如图所
,你以为选派________(填甲或乙)运动员适合.
答案甲
分析依据茎叶图,
1
可得x甲=×(78+79+81+84+93+95)=85,
6
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x乙
=1×(75+80+83+85+92+95)=85.
6
2
1
2
+(79-85)
2
+(81
-85)
2
+(84
-85)
2
+(93
-85)
2
+(95
-85)
2
]=
133
s甲=×[(78-85)
,
6
3
2
1
2
2
2
2
2
2
139
s乙=6×[(75-85)
+(80-85)
+(83
-85)
+(85
-85)
+(92
-85)
+(95
-85)
]=3.
因为
x
甲=
x
乙,
2
2
.
甲<
乙,因此甲运动员的成绩比较稳固,选派甲运动员参赛比较适合
s
s
题型一
古典概型与几何概型
例1
(1)(2016·山东)在[-1,1]上随机地取一个数
k,则事件“直线
y=kx与圆(x-5)2+
y2=9订交”发生的概率为________.
1
1
1
(2)若随意x∈A,则x∈A,就称A是“友好”会合,则在会合
M={-1,0,3,
2,1,2,3,4}
的全部非空子集中,“友好”会合的概率是________.
1答案(1)4(2)17
分析
(1)由已知得,圆心
(5,0)
|5
k|
<3,解得-
3
3
到直线y=kx的距离小于半径,∴
2
4
<k<,
k+1
4
3--3
3
由几何概型得
4
4
P=
=.
1--
1
4
由题意,“友好”会合中不含0和4,而2和1,3和1成对出现,1和-1可独自出现,故
2
3
1
1
1
1
“友好”会合分别为
{1},{-1},{-1,1},{2,2},{3
,3},{1,3
,3},{1,2
,2},{-1,2,
1
1
1
1
1
1
1
1
2},{-1,3
,3},{3
,3,2,2}
,{2,
2,1,-1}
,{3
,3,1,-1},{1,3,
3,2,2},{-
1
1
1
1
8
1,3,3,2,2},{3,3,2,2,1,-1},共15个,而会合M的非空子集有
2-1=255
个,
1
故“友好”会合的概率是P=255=17.
思想升华几何概型与古典概型的实质差异在于试验结果的无穷性,几何概型常常波及的几
何胸怀有长度、面积、体积等,解决几何概型的要点是找准几何测度;古典概型是命题的重
点,关于较复杂的基本领件空间,列举时要依据必定的规律进行,做到不重不漏.
(1)(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6
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个点的正方体玩具)先后扔掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
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(2)(2016
·济南月考
)已知函数
f(x)=x2+bx+c,此中
0≤b≤4,0≤c≤4,记函数
f(x)满足
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f
,
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条件
为事件
A,则事件
A发生的概率为
(
)
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-
5
5
3
1
C.
8D.
2
答案
(1)
5
(2)A
6
分析
(1)
基本领件共有
:
(1,1),(1,2)
,(1,3)
,(1,4)
,(1,5)
,(1,6)
,
(2,1)
,(2,2)
,(2,3)
,(2,4)
,(2,5)
,(2,6)
,(3,1)
,(3,2)
,(3,3)
,(3,4)
,(3,5)
,(3,6)
,
(4,1)
,(4,2)
,(4,3)
,(4,4)
,(4,5)
,(4,6)
,(5,1)
,(5,2)
,(5,3)
,(5,4)
,(5,5)
,(5,6)
,
(6,1)
,(6,2)
,(6,3)
,(6,4)
,(6,5)
,(6,6),此中满足点数之和小于10
的有30
5
求概率为P=36=6.
f
,
2b+c≤8,
作出0≤b≤4,0≤c≤4及
2b+c≤8,
(2)
即为
表示的区
f-
-b+c≤2.
-b+c≤2
16-65
域(图略),由几何概型概率公式得所求概率为P=16=8.
题型二概率与统计的综合应用
例2经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获收益500元,未售出的产品,,获取销售季度内市场需求量的频次分布直方
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图,
130t
X(单位:
t,100
≤X≤150)
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表示下一个销售季度内的市场需求量,润.
T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利
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将T表示为X的函数;
(2)依据直方图预计收益T许多于57000元的概率;
解(1)当X∈[100,130)时,
T=500X-300(130-X)=800X-39000.
当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.
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800X-39000,100≤X<130,
因此T=
000,130≤X≤150.
由(1)知收益T许多于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量
∈[120,150]的频次为
,因此下一个销售季度内的收益
T
许多于57000
X
.
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追踪训练
2
(2016·衡阳模拟
)某校从高一年级学生中随机抽取
40名学生,将他们的期中考
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试数学成绩
(满分
100分,成绩均为不低于
40分的整数
)分红六段:
[40,50)
,[50,60)
,,
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[90,100]
后获取以以下图的频次分布直方图.
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求图中实数a的值;
(2)
若该校高一年级共有640人,试预计该校高一年级期中考试数学成绩不低于
60分的人数;
(3)
若从数学成绩在[40,50)与[90,100]
两个分数段内的学生中随机采纳2
名学生,求这2名
学生的数学成绩之差的绝对值不大于
10的概率.
解(1)由已知,得10×(+++a++)=1,解得a=.
依据频次分布直方图,可知成绩不低于60分的频次为1-10×(+)=,利用样本预计整体的思想,可预计该校高一年级期中考试
数学成绩不低于60分的人数为640×=544.
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(3)易知成绩在
[40,50)
分数段内的人数为
40×=
2,这2人分别记为
A,B;成绩在[90,100]
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分数段内的人数为
40×=
4,这4人分别记为
C,D,E,
[40,50)
与[90,100]
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两个分数段内的学生中随机采纳
2名学生,则全部的基本领件有
(A,B),(A,C),(A,D),
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(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),
(D,F),(E,F),[40,50)分数段内或都在[90,100]
分数段内,[40,50)
分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值必定
“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包括的基
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本领件有(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共7个,故所求概
7
率P(M)=15.
题型三概率与统计事例的综合应用
例3(2016·湖北武汉华中师大一附中期末)某高中采纳分层抽样的方法从应届高二学生中
依据性别抽出20名学生作为样本,其选报文科、理科的状况以下表所示.
性别
男女
科目
文科25
理科103
(1)若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开会谈会,试求3
人中既有男生也有女生的概率;
用独立性检验的方法分析有多大的掌握以为该中学的高二学生选报文理科与性别有关?
2
n
ad-bc2
b+d(此中n=a+b+c+d)
参照公式:χ=
a+b
c+d
a+c
(χ2≥
k
0)
P
k0
解
(1)报考文科的
2名男生记为A1,A2,报考文科的3
名女生记为
B1,B2,B3,从5人中选
人有
(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2),(A1,B1,B3),(A1,B2,B3),(A2,
B1,B2),(A2,B1,B3),(A2,B2,B3),(B1,B2,B3),共10种.
3人中既有男生也有女生的有
9种,
9
∴所求概率为10.
-
2
(2)χ2=
≈>,可知有
95%以上的掌握以为该中学的高二学
12×8×13×7
生选报文理科与性别有关.
思想升华统计以观察抽样方法、样本的频次分布、样本特色数的计算为主,概率以观察概
率计算为主,常常和实质问题相联合,要注意理解实质问题的意义,使之和相应的概率计算
对应起来,只有这样才能有效地解决问题.
为认识大学生观看某卫视某综艺节目能否与性别有关,一所大学心理学教师从
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该校学生中随机抽取了50人进行问卷检查,获取了以下的列联表:
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喜爱看“某综艺节目”不喜爱看“某综艺节目”共计
女生
5
男生
10
共计
50
若该教师采纳分层抽样的方法从
50份问卷检查中连续抽查了
10份进行要点分析,知道此中
喜爱看“某综艺节目”的有
6人.
请将上边的列联表增补完好;
%的掌握以为喜爱看“某综艺节目”与性别有关?说明你的原由;
已知喜爱看“某综艺节目”的10位男生中,A1,A2,A3,A4,A5还喜爱看新闻,B1,B2,B3
还喜爱看动画片,C1,C2还喜爱看韩剧,此刻从喜爱看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出
1
名进行其余方面的检查,求B1和C1不全被选中的概率.
下边的临界值表供参照:
P(χ2≥k0)
k0
2
-
bc
2
nad
b+d,此中n=a+b+c+d)
(参照公式:χ=
a+b
c+d
a+c
6
解(1)
由分层抽样知识知,喜爱看“某综艺节目”的同学有
50×10=30(人),故不喜爱看
“某综艺节目”的同学有50-30=20(人),于是可将列联表增补以下:
喜爱看“某综艺节目”
不喜爱看“某综艺节目”
共计
女生
20
5
25
男生
10
15
25
共计
30
20
50
-
2
(2)∵χ
2=
≈>.
30×20×25×25
∴%的掌握以为喜爱看“某综艺节目”与性别有关.
从喜爱看“某综艺节目”的10位男生中选出喜爱看韩剧、喜爱看新闻、喜爱看动画片的
各1名,其全部可能的结果构成的基本领件共有
=5×3×2=30(个),用
M
表示“
1,1不
N
BC
全被选中”这一事件,则其对峙事件M表示“B1,C1全被选中”这一事件,因为M由(A1,B1,
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C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),(A4,B1,C1),(A5,B1,C1)5个基本领件构成,因此P(M)
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5=1.
306
由对峙事件的概率公式得
15
P(M)=1-P(M)=1-=.
、乙两人进行两种游戏,两种游戏规则以下:
游戏Ⅰ:口袋中有质地、大小完好同样的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲先摸出一个球,
记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,假如两个编号的和为偶数算甲赢,不然算乙赢.
游戏Ⅱ:口袋中有质地、大小完好同样的6个球,此中4个白球、2个红球,由裁判有放回
地摸两次球,即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次,摸出两球同色算甲赢,摸出两球不
同色算乙赢.
求游戏Ⅰ中甲赢的概率;
求游戏Ⅱ中乙赢的概率,并比较这两种游戏哪一种游戏更公正,试说明原由.
解
(1)∵游戏Ⅰ中有放回地挨次摸出两球的基本领件有
5×5=25(
个),此中甲赢有(1,1)
,
(1,3)
,(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1)
,(5,3)
,(5,5),(2,2)
,(2,4),(4,4),(4,2)
,
13
共13个基本领件,∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为
P=25.
设4个白球为a,b,c,d,2个红球为A,B,则游戏Ⅱ中有放回地挨次摸出两球,基本领
件有6×6=36(个),此中乙赢有(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B),(c,
B),(d,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),共16
个基本领件,
4
∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P′=36=9.
13141
∵|-|<|-|,∴游戏Ⅰ更公正.
25292
{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10项和S10=55.
求an和bn;
现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本领件,并求这两项的值
相等的概率.
解
n
n
10
10×9
4
=q
3
(1)设数列{a}的公差为
d,数列{b}的公比为
=10+
d=55,b
2
2018版高考数学复****高考专题打破六高考中的概率与统计问题文北师大版
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8,
n-1
解得d=1,q=2,因此an=n,bn=2.
(2)分别从{n}和{
b
n}的前3项中各随机抽取一项,获取的基本领件有
(1,1),(1,2)
,(1,4)
,
a
(2,1),(2,2)
,(2,4)
,(3,1)
,(3,2)
,(3,4),共9个.
符合题意的基本领件有
(1,1)
,(2,2)
,共2个.
2
故所求的概率
P=9.
、乙两名同学参加100米达标训练,在同样条件下两人10次训练的成绩(单位:秒)
以下:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
乙
(1)
、乙两名同学中选一名参加学校的
100米竞赛,从成绩的稳固性
方面考虑,选派谁参加竞赛更好,并说明原由
(不用计算,可经过统计图直接回答结论
);
(2)
经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在
[,]之
间,现甲、乙竞赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于
.
解(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图如图:从统计图中能够看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,乙成绩的稳固性更好,因此选派乙同学代表班级参加竞赛更好.
设甲同学的成绩为x,乙同学的成绩为y,
则|x-y|<,
得x-<y<+x,
如图,暗影部分面积即为3×3-×=,
则P(|x-y|<)=P(x-<y<+x)
==.
3×3225
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4.(2016·贵阳模拟)一次考试中,五名学生的数学、物理成绩以下表所示:
学生
A1
A2
A3
A4
A5
数学成绩x(分)
89
91
93
95
97
物理成绩y(分)
87
89
89
92
93
(1)
要从5名学生中选2人参加一项活动,求选中的学生中最罕有一人的物理成绩高于
90分
的概率;
(2)
依据上表数据,用变量y与x的有关系数和散点图
(在所给坐标系中画出
)说明物理成绩y