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一、Taylor展开法
设
截取有限项作为的近似值,有
Taylor公式
局部截断误差
Taylor公式具有p阶精度.
当p=1时,即为Euler公式.
二、龙格-库塔方法的基本思想
龙格首先提出用n个点处f的函数值的线性组合来代替y的导数值,然后按泰勒公式展开,确定其中的系数,以提高精度.
Taylor公式需要计算y的各阶导数值,当阶数
较高时,求导过程很复杂.
【定理4】(二元函数的泰勒公式)
———中点公式
———Heun公式
———改进的欧拉公式
三阶Heun公式
四阶龙格—库塔公式有:
为了分析经典R-K公式的计算量和计算精度,将四阶经典R-K公式与一阶显式Euler公式及二阶改进的Euler公式相比较。一般说来,公式的级数越大,计算右端项f的次数越多,计算量越大。在同样步长的情况下,Euler方法每步只计算一个函数值,而经典方法要计算4个函数值。四阶R-K法的
计算量差不多是改进的Euler公式的2倍,是显式Euler公式的4倍。
下面的例子中Euler方法用步长,二阶改进的Euler法用步长,而四阶经典公式用步长
。这样,从到三种方法都计算了4个函数制,计算量大体相当。