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小学奥数:
第十一讲鸡兔同笼问题
“鸡兔同笼”问题小朋友们听说过吗,这是一类著名的数学问题。比如:“鸡兔同笼~共有45个头~146只脚。笼中各有多少只鸡兔,”鸡兔同笼问题的特点是:题目中有两个或两个以上的未知数~
要求根据总数量~求出各未知数的单量。解题时~首先要根据题目中
所给出的两个未知数的关系~用一个未知数代替另一个未知数~从而
将两个未知数装化为一个未知数~从而解出答案。
典型例题
例【1】鸡兔同笼~共有45个头~146只脚。笼中鸡兔各有多少只,
分析题目中给出了鸡、兔共45只。如果假设这45只全都是兔子~那么就应该有180只脚。而题目只告诉我们有146只脚~我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。为什么呢,因为一只鸡
是两只脚~而我们把它当成4只脚算了。如果用一只鸡来置换一只兔~
就要减少2之脚~那么~34只脚里包含多少个2只脚~也就是我们
把多少只鸡当成了兔子~显然34?2,17,只,。所以鸡有17只~兔
子有28只。当然~我们也可以把45只都假设成是鸡~把以上问题反
过来考虑。
解法一假设全是兔子。
,4×45,146,?,4,2,,17,只,——鸡45,17,28,只,——兔
解法二假设全是鸡。
,146,2×45,?,4,2,,28,只,——兔45,28,17,只,——鸡
答:鸡有17只~兔子有28只。
例【2】盒子里有大、小两种钢珠共30个~共重266克~已知
大钢珠每个11克~小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少
个,
分析假设全部都是大钢珠~则共重:11×30,330,克,,
比原来的克数重:330,266,64,克,,
小钢珠的个数是:64?,11,7,,16,个,
大钢珠的个数是:30,16,14,个,
同样~也可以假设全部都是小钢珠。算法一样。
解法一假设全是大钢珠。
,30×11,266,?,11,7,,16,个,——小钢珠
30,16,14,个,——大钢珠
解法二假设全是小钢珠。
,266,30×7,?,11,7,,14,个,——大钢珠
30,14,16,个,——小钢珠
例【3】一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张~总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张,
分析先假定买来的100张邮票全部是20分一张的~那么总值应是2000分~比原来的总值多120分。而多的120分~是把10分一张的看作是20分的一张的~每张多算10分。因此可以先求出
10分一张的邮票有多少张。
解10分一张的邮票的张数有:
,2000,1880,?,20,10,,12,张,
20分一张的邮票张数有:
100,12,88,张,
答:10分一张的邮票有12张~20分一张的邮票有88张。
例【4】学校买来3个排球和2个足球~共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元,
分析根据“每个足球比每个排球贵3元”可知~当把买2个足球换成买2个排球时~买球共花的钱就会比原来少6元~现在买的是,3,2,个排球~因此~可以求出每个排球的价钱。
解每个排球的价钱:
,111,3×2,?,3,2,,21,元,每个足球的价钱:
21,3,24,元,
答:每个排球的价钱是21元~每个足球的价钱是24元。
同样~这道题也可以将3个排球换成3个足球来考虑。
例【5】买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元~问两种笔每支各多少元,
分析根据“买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱”~可知“买1支钢笔的价钱等于买4支圆珠笔的价钱”~买3支钢笔的价钱可以买,4×3,支圆珠笔。这样~我们就可以将买钢笔的支数转
换为买圆珠笔的支数了。从而顺利地求出每支圆珠笔的价钱。
解一支圆珠笔的价钱:
5,,8?2,×3,17,支,
17?17,1,元,
一支钢笔的价钱:
1×8?2,4,元,
答:一支钢笔4元~一支圆珠笔1元。
小结解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、
“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一
个未知数~然后根据已知条件进行假设性的运算~直到求出结果。
概括起来~解“鸡兔同笼问题”的基本公式是:
鸡数,,每只兔脚数×鸡兔总数,实际脚数,?,每只兔子脚数,每只鸡的脚数,