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八年级培优经典题型和专题训练
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1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是:
(1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。
(2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学****用提公因式法因式分解
【分类解析】

(1)
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成公因式提取出来,再算出结果。
解:原式

例:不解方程组,求代数式的值。
分析:不要求解方程组,我们可以把和看成整体,它们的值分别是3和,观察代数式,发现每一项都含有,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有和的式子,即可求出结果。
解:
把和分别为3和带入上式,求得代数式的值是。
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例:证明:对于任意自然数n,一定是10的倍数。
分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n,和都是10的倍数。
一定是10的倍数
5、中考点拨:
例1。因式分解
解:
说明:因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得到。
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:
解:
说明:在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。
题型展示:
:
精析与解答:
设,则
说明:此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算,运算量必然很大。其中2000、2001重复出现,又有的特点,可通过设未知数,将复杂数字间的运算转化为代数式,再利用多项式的因式分解化简求值,从而简化计算。
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:(b、c为整数)是及的公因式,求b、c的值。
分析:常规解法是分别将两个多项式分解因式,求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到是及的因式。因而也是的因式,所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解:是及的公因式
也是多项式的二次因式
而
b、c为整数
得:
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说明:这是对原命题进行演绎推理后,转化为解多项式,从而简便求得。
,试判断是质数还是合数,请说明理由。
解:
都是大于1的自然数
是合数
说明:在大于1的正数中,除了1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
:
(1)
(2)(n为正整数)
(3)
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:的结果是()
A. B. C. D.
、y都是正整数,且,求x、y。
:能被45整除。
:,且当时,求原式的值。
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2、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。
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