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刘彦永
摘要:对2020年新课标Ⅰ卷文科第21题进行了试题分析、解法探究,旨在掌握这类试题的解题策略.
Key:高考试题;压轴题;定点;解法探究
:G632:A:1008-0333(2021)10-0050-03
2020年高考新课标Ⅰ卷文科第21题,:
已知A、B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
一、试题分析
本题也是2020年高考全国1卷理科第20题,,对计算难度、、区分度较高,能使学生充分展示理性思维的广度和深度和数学核心素养.
二、解法探究
本题第(2)问的解法很多,不同的解图1法体现不同的思维层次和思考角度,要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.
解析(1)根据题意作图如下:
由椭圆方程E:x2a2+y2=1(a>1)可得A-a,0,Ba,0,G0,1,故AG=a,1,GB=a,-1,因此AG·GB=a2-1=8,所以a2=9,椭圆方程为x29+y2=1.
下面对第二问深入探讨:
解法1设点表线解决问题
(2)证明:设P6,t,则直线AP的方程为
y=t9x+3.
联立直线AP的方程与椭圆方程可得
x29+y2=1y=t9x+3,
整理得
t2+9x2+6t2x+9t2-81=0,
解得x=-3或x=-3t2+27t2+9
将x=-3t2+27t2+9
代入直线y=t9x+3,
可得y=6tt2+9,
所以点C的坐标为-3t2+27t2+9,6tt2+9,同理点D的坐标为3t2-3t2+1,-2tt2+1.
当直线CD斜率不存在时,即-3t2+27t2+9=3t2-3t2+1,解得t2=3,此时直线CD的方程为x=32.
当直线CD斜率存在时,直线CD的方程为y--2tt2+1=6tt2+9--2tt2+1-3t2+27t2+9-3t2-3t2+1x-3t2-3t2+1,
整理得y+2tt2+1=8tt2+369-t4x-3t2-3t2+1=8t63-t2x-3t2-3t2+1,即y=4t33-t2x+2tt2-3=4t33-t2x-32
综上所述,直线CD恒过定点32,0.
点评对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点问题,设该直线上两点的坐标,建立点的坐标满足的方程,求出相应的直线,然后再说明直线过定点.
解法2设点设线解决问题
设P6,t、C(x1,y1)、D(x2,y2),直线CD方程为x=ty+n(-3<n<3),则由x29+y2=1x=ty+n知(t2+9)y2+2tny+n2-9=0,
y1+y2=-2tnt2+9,y1y2=n2-9t2+9(*)
由三点共线知y1=t9(x1+3),y2=t3(x2-3),
即y21=t281(x1+3)2,y22=t29(x2-3)2.
由C(x1,y1)、D(x2,y2)在椭圆x29+y2=1上,知y21=1-x219,y22=1-=(x1+3)29(x2-3)=9-x219-x22,
整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0,
結合(*)式整理有2n2-15n+18=0,解得n=6(舍)或n=32,直线CD方程为x=ty+32,故直线CD恒过定点32,0.
点评解法2巧妙利用坐标的平方,再结合点在椭圆上处理问题,这就是曲线代换,,事实上,先讨论斜率不存在,再设直线CD方程为y=kx+m解决问题也会有巧妙处理技巧,在此不赘述.
解法3整体法解决问题
同解法2可知,2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)(**)
由三点共线知y1=t9(x1+3),y2=t3(x2-3),y1y2=x1+33(x2-3)=ty1+n+33(ty2+n-3)
整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0,结合(**)式有
(2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0,
故2n2-9n+9=0-2n2-3n+9=0,解得n=32.
直线CD方程为x=ty+32,故直线CD恒过定点32,0.
点评解法3利用韦达定理很难处理,然而利用(**)式进行替换,.
解法4先猜后证解决问题
证明:根据已知条件的特征和椭圆的对称性,可以猜想到该定点一定在x轴上.
同解法1得到点C-3t2+27t2+9,6tt2+9、D3t2-3t2+1,-2tt2+1.
当直线CD斜率不存在时,得t2=3,
此时直线CD的方程为x=32,过x轴上点M32,0.
当直线CD斜率存在时,MC=-9t2+272(t2+9),6tt2+9,MD=3t2-92(t2+1),-2tt2+1,
由-9t2+272(t2+9)·-2tt2+1-6tt2+9·3t2-92(t2+1)=0,知MC与MD共线,即直线CD过定点M32,,直线CD恒过定点32,0.
点评面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点,,,解答过程也可利用kMC=kMD证明直线CD恒过定点32,0.
解法5参数方程解决问题
设P6,t、C3cosα,sinα、D3cosβ,sinβ.
当t≠0时,由P、A、C三点共线知sinα3cosα+3=t9,由P、B、D三点共线知sinβ3cosβ-3=t3,故3sinα3cosα+3=sinβ3cosβ-3,即3sinα(cosβ-1)=sinβ(cosα+1),利用二倍角公式有cosα2cosβ2=-
y-sinα=sinβ-sinα3cosβ-3cosα(x-3cosα),令y=0有
x=3sin(β-α)sinβ-sinα=6sinβ-α2cosβ-α2-2sinα-β2cosα+β2=3cosβ-α2cosα+β2
=3(cosα2cosβ2+sinα2sinβ2)cosα2cosβ2-sinα2sinβ2=32
故直线CD过定点32,0.
当t=0时,直线CD的方程为y=0,也过点32,0.
综上所述,直线CD恒过定点32,0.
点评利用参数方程巧妙地用一个参数表示出椭圆上点的坐标,、辽宁、宁夏高考圆锥曲线解答题均可用参数方程解决.
解法6极点极线解决问题
设P6,t,则点P的极线为23x+ty=,此点就是32,0,也就是直线CD恒过的定点.
点评基于高等数学的极点和极线知识命题是命题人的一个常见思路,,但不宜作为解答题的解法,(2)问与2010年江苏高考试题18题第(3)问本质完全一样,几乎就是“撞衫”题.
圆锥曲线中的定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就要用变化的量表示目标量,,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
圆锥曲线解答题主要考察学生的运算能力,因此在备考过程中要培养学生敢想、会算、,然后在教学中践行所掌握的知识技能和思想方法,最后使学生的思维更广阔、思想更深刻.
Reference:
[1][J].中国教师,2016(9):33-38.
[2]韩毅,[J].中学数学研究,2019(5):2-5.
[责任编辑:李璟]
 
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