2018考研数学冲刺模拟卷数学二.docx

文档介绍：该【2018考研数学冲刺模拟卷数学二 】是由【森林书屋】上传分享，文档一共【14】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2018考研数学冲刺模拟卷数学二 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。2018考研数学冲刺模拟卷(数学二)
答案与解析
一、选择题:1~8小题,每小题 4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.
1
cosx
(1)若函数f(x)
ax2
,x
0在x
0处连续,则(
)
b,x
0
(A)ab
1
(B)ab
1
(C)ab
0
(D)ab2
4
2
【答案】A.
1
cosx
1x2
1
1
1
【解析】
lim
4
0处连续
lim
ax2
,Qf(x)在x
bab
.选
x0
x0ax2
4a
4a
4
A.
(2)设二阶可导函数
f(x)满足f(1)
f(
1)
1,f(0)
1
且f''(x)
0,则(
)
1
f(x)dx
0
1
0
0
f(x)dx
1
(A)
(B)
f(x)dx
(C)
1
f(x)dx
(D)
1
1
0
0 1
f(x)dx f(x)dx
1 0
【答案】A.
【解析】f(x)为偶函数时满足题设条件,此时
0
1
f(x)dx
f(x)dx,排除C,D.
1
0
2x21满足条件,则
1
f(x)dx
1
2x21dx
2
0
取f(x)
1
1
,选A.
3
(3)设数列
xn
收敛,则(
)
(A)当limtan
xn
0
时,
limxn
0
(
B
)当lim(x
3
x
)
0时,
limxn
0
n
n
n
n
n
n
(C)当lim(xn
xn
2)
0时,limxn
0
(D)当lim(xn
sinxn)
0时,limxn
0
n
n
n
n
【答案】D.
【解析】特值法:(A)取xn
,有limtanxn
0,limxn
,A错;
n
n
取xn
1,排除B,.
(4)微分方程y
4y
4y
e2x(1
sin2x)的特解可设为
y*
(
)
(A)Ae2x
e2x(Bcos2xCsin2x)
(B)Axe2x
e2x(Bcos2xCsin2x)
(C)Ax2e2x e2x(Bcos2x Csin2x) (D)Axe2x e2x(Bcos2x Csin2x)
【答案】C.
【解析】特征方程为:
2
4
4
0
2,
1,2
因为f(x)
e2x(1sin2x),故y*
Ax2e2x
e2x(Bcos2x
Csin2x),选C.
(5)设f(x,y)具有一阶偏导数,且对任意的
(x,y),都有
f(x,y)
0,f(x,y)
0,则
x
y
(A)f(0,0)
f(1,1)
(B)f(0,0)
f(1,1)
(C)f(0,1)
f(1,0)
(D)f(0,1)
f(1,0)
【答案】C.
【解析】
递增函数,

f(x,y)
0,f(x,y)
0f(x,y)是关于x的单调递减函数,是关于
y的单调
x
y
所以有f(0,1) f(0,0) f(1,0),故答案选 C.
(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度
曲线v v1(t)(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线 v v2(t),三块阴影部分面积的数值
依次为10,20,3,计时开始后乙超过上甲的时刻记为 t0(单位:s),则( )
v(m/s)
3
10
20
0 5 10 15 20 25 30 t(s)
(A)t0
10
(B)15t020
(C)t025
(D
)
t025
【答案】D.
0到t0
t0
v1
t0
【解析】从
这段时间内甲乙的位移分别为
(t)dt,v2(t)dt,则乙要超过甲,则
0
0
t0
v1(t)dt
10,当t025时满足,故选D.
v2(t)
0
(7)设A为m′n阶矩阵,且
r(A)=m<n
,则下列结论正确的是
(A)A的任意m阶子式都不等于零
(B)A的任意m个列向量线性无关
(C)方程组AX=b一定有无穷多解
(D)矩阵A经过初等行变换可化为
(EmMO)
【答案】C.
m=r(A)#r
(A)
min(m,n)=m?
r(A)
【解析】对于选项
C,
m<n所以选项C正
确,
对于选项A和B,r(A)=m,由秩的定义可得,存在一个
m阶行列式不为零,从而
m阶行列
式所在的列向量组线性无关,所以选项
A和B不正确
对于选项D,矩阵
A
经过初等行变换和列变换才可化为
(EmMO),所以选项D不正确
T
T
T
(8)设a1=(1,0,2,c1),a2=(0,2,1,c2),a3=(1,2,
3,c3),
a4=(1,0,
T
,其中ci(i=1,2,3)为任意实数,则
1,
0)
(A)a1,a2,a3,a4必线性相关
(B)a1,a2,a3,a4必线性无关
(C)a1,a2,a3必线性相关
(D)a2,a3,a4必线性无关
【答案】D.
骣
0
1
1
1
琪
经初等行变换琪
1
1
0
(a1
a2
a3a4)
?
0
【解析】
琪
c-
-c
琪
0
c
0
0
琪
3
1
2
琪
-
0
0
0
1
r(a1
a4)￡4
桫
所以
a2
a3
,从而选项A和B均不正确
r(a1 a2 a3)￡3,从而选项C不正确
利用排除法可得正确答案为 D
骣
1
0
1
琪
琪
1
1
(a2
a3
a4)
经初等行变换
0
对于选项D,
?
琪
,
琪
0
1
0
琪
琪
0
0
0
桫
从而可得r(a2
a3
a4)=3=向量的个数,所以a2,a3,a4必线性无关
二、填空题:

914小题,每小题

4分,共

24分,请将答案写在答题纸 指定位置上
...

.
(9)
曲线yx
1ln(1
ex2
)的斜渐近线方程为_______
x
【答案】y
2x
【解析】
Qlimy
x2
))
x
2
lim(1
ln(1
x
2
e
2,limy2x
limln(1e
)
x0,
x
x
x
x
x
x
y
2x
x
tet
2
(10)设函数y
y(x)由参数方程
t
确定,则d
y
______
y
sinueudu
dx2
t0
0
【答案】
【解析】

3
8
dy
sint
et
,dx
1
et
dy
sint
et
et
dt
dt
dx
1
sint
et
'
d2y
1et
(costet)(1
et)
(sint
et)et
d2y
3
dx2
dx
1
et
3
dx2
t0
8
dt
(11)
1
ln
2xdx
_______
x
【答案】-1
【解析】
lnx
dx
1
1
lnx1
1
1
x
2
lnxd
x
x
2dx
1
1
x
1
(12)
设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且
f
yey,
f
x(1
y)ey,f(0,0)
0,
x
y
则f(x,y)
_______.
【答案】xyey
.
【解析】
y
,
(1
)
y
,
(,
)
y
y
(
),
故
fx
ye
fy
x
ye
f
xy
yedxxye
cy
fy
xey
xyey
c(y)
xey
xyey,
因此c(y)
0,即c(y)
C,再由f(0,0)
0,可得f(x,y)
xyey.
1tant
1
f(x)dx
______.
(13)已知f(x)
dt,则
x
t
0
【答案】 lncos1.
【解析】交换积分次序:
1
1
1tant
1
ttant
1
.
f(x)dx
x
dtdx
0
dt
dx
tantdtlncos1
0
0
t
0
t
0
(14)设a,b为四维非零的正交向量,且
A=abT,则A的所有特征值为
.
【答案】0,0,0,0
【解析】设矩阵
A的特征值为l,则A2
的特征值为l2
由a,b为四维非零的正交向量
?
bTa
0
从而A2=(abT)(abT)=a(bTa)bT=0
所以A2
的特征值l2
=0T
A的特征值为l=0
所以4
阶矩阵A的4
个特征值均为0.
三、解答题:15—23小题, 、
...
证明过程或演算步骤 .
x
u
tetdt
du
0
u
(15)(本题满分
10分)求极限lim
0
x
t3dt
x0
0
【答案】2
.
3
x
u
u
tetdt
du
x
tetdt
0
0
lim
x
,令xtu,则有
【解析】lim
x
3dt
0
x3
x
0
t
x
0
0
x
0
uexudu
x
uex
udu
xtetdt
x
0
0
x
ex
x
ueudu
uexudu
原式=lim
0
3
lim
0
3
x
0
x2
x0
x2
x
ueudu
xex
lim
0
lim
2
3
1
3
x0
x2
x0
3x2
2
(16)(本题满分10
分)设函数
f
u
在0,
内具有二阶导数,且
zf
x2
y2
满
足等式
2z
2z
1
1
x
z
y
z
2z,若f
0
0,f0
1,求
x2
y2
x2
y2
x2
y2
x
y
函数f u的表达式.
【解析】(I)由于题目是验证,只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了
z
f
x2
y2
x
;z
f
x2
y2
x2
y
y2
x
x2
y2
y
x2
y2
x2
2z
f
x2
y2
x2
x2
y2
f
x2
y2
x2
x2
y2
x2
y2
f
x2
y2
x2
x2
y2
f
x2
y2
x2
y2
32
y2
同理
2z
f
x2
y2
x2
y2
y2
f
x2
y2
x2
x2
32
y2
y2
代入
2z
2z
1
y2
1
xz
yz
2z,得
x2
y2
x2
x2
y2
x
y
f
x2
y2
f(x2
y2)2f(x2
y2),
即f
(u)
f
(u)
2f(u).
则对应的特征方程为
r2
r2
0
,r1
1,r2
2
,故f(u)
C1e2x
C2ex.
由f0
0,f0
1,得C1
1,C2
1,即f(u)
1e2x
1ex
3
3
3
3
(17)(本题满分
10分)求lim
n
k
ln
n
k
lnn
2
n
k1
n
【答案】1
.
4
【解析】
原
式
=
lim
nk
ln(1
k
1
xln(1
x)dx
11
ln(1
x)dx
2
1
x)
x
21
1x2
11
1
k1n
2
n
)
20
(ln(1
0
01x
dx)
n
0
2
4
.
(18)(本题满分
10分)设函数f
x
x
3x
tdt
1

21
连续,且
tf
,
0
2
3
求fxdx的值.
2
【解析】令u
3xt,则t
3xu,所以dt
x
1arccotx2
du代入tf3xtdt
0
2
x
2x
3x
得
tf3xtdt
(3xu)fudu
(3xu)fudu
0 3x 2x
3x
3x
u
du
3x
u
du
1
arccotx2
f
uf
2x
2x
2
1
3x
u
du
3x
du
arccotx2两边对x求导得
将等式3x
f
ufu
2x
2x
2
x
3
3x
f
udu
3x[3f(3x)
2f(2x)]
[3xf(3x)3
2xf(2x)2]
2x
4
1
x
x
化简得
3
3x
f
udu
2xf(2x)
2x
1
x
4
令x1
得,3
3
f
udu2f(2)
1
,化简得
2
1
1
1
3
u
du
f
2
2
(19)(本题满分
10分)设y
f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数,
f(x)在区间(0,1)
内可导,且f(x)
1
f(t)dt
0存在唯一实根.
2f(x),试证明在(0,1)内,xf(x)
x
x
x0
(0,1)
,使x0f(x0)
1
(x)
xf(x)
1
【解析】(1)
要证
f(x)dx;令
f(t)dt
,要证
x0
x
x0(0,1),使
(x0)

(x)的原函数
x
(t)dt使用罗尔定理:
(x)
0
0,
(1)
1
1
1
1
(x)dx
xf(x)dx
0
(f(t)dt)dx
0
0
x
分部
1
1
x
1
1
x
0,
xf(x)dx
f(t)dt
xf(x)dx
0
x
x
0
0
又由f(x)在[0,1]连续
(x)在[0,1]
连续,
(x)在[0,1]
连续,在(0,1)
理,
x0
(0,1)
,使
(x0)
(x0)
0
.
(2)
由
(x)
xf
(x)
f(x)
f(x)
xf(x)
2f(x)0
,知
(x)在(0,1)内单调增,故(1)
中的x0是唯一的.
(20)(本题满分 11分)已知平面区域D x,y|x2 y2 2x,计算二重积分
2
y 1 dxdy。
D
【答案】5 .
4
【 解 析 】
y
2
y21dxdy2y2dxdy
1dxdy22d
2cos
3sin2dr
5
1dxdy
r
0
0
4
D
D
D
D
(21)(本题满分
11分)设y(x)是区间
0,3
内的可导函数,且
y(1)1,点P是曲线L:
2
y
y(x)上任意一点,L在点P处的切线与
x轴相交于点
Xp,0
,法线与y轴相交于点
0,Yp,若Xp
Yp,求L上点的坐标
x,y
满足的方程。
【答案】
px,y(x)的切线为Y
y(x)y(x)
X
x
,令Y
0得Xp
y
【解析】设
x
,
y(x)
法线
1
X0
x
。由
XpYp
Yy(x)
Xx,
令
得
Y
y
得
y(x)
p
y(x)
x
y
y
x
,即1
y
y(x)
y
1。令y
u,则y
ux,按照齐次微分方
y(x)
y(x)
x
x
x
程的解法不难解出
1
ln(u
2
1)arctanulnx
C
,故
1
x
2
y
2
arctan
y
1
.
2
ln
x
ln2
2
42
(22)(本题满分
11分)设a1,a2,a3,a4,b均为四维列向量,A=(a1,a2,a3,a4),非齐次
线性方程组AX=b的通解为k(-1,2,
T
+(2,
T
0,
3)
-3,
1,
5)
(Ⅰ)求方程组(a2,a3,a4)X=b的通解;
(Ⅱ)求方程组
(a1,a2,a3,a4,a4+b)X=b
的通解.
AX=b的通解为k(-1,
T
T
【解析】(Ⅰ)由
2,
0,
3)+(2,-3,
1,5)
骣
骣
-
琪2
琪1
琪
琪
3
r(A)=r
(Ab)=
2
-
可得
3,A
琪
=
0,A
琪
=b
,即
琪
琪
0
1
琪
琪
琪
琪
桫3
桫5
骣
-1
琪
(a1
,a2
,a3
琪2
=-a1+2a2+3a4=0①
,a4)琪
琪
0
琪
琪
桫3
骣2
琪
琪
-3
(a1,a2,a3,a4)琪琪1
=2a1-3a2+a3+5a4=b②
琪
琪
桫5
所以a1可由a2,a3,a4线性表出,b可由a1,a2,a3,a4线性表出即
b可由线性表出
a2,a3,a4
从而r(a2,a3,a4)=r(a2,a3,a4,b)=3
所以方程组
(a2,a3
,a4)X=b
只有唯一解
②+2′①得b=a2+a3+11a4
T
所以程组(a2,a3,a4)X=b的唯一解为X=(1,1,11);
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a1可由a2,a3,a4线性表出,
b可由线性表出a2,a3,a4
从而(a1,a2,a3,a4,a4+b,b)
经初等行变换
(0,a2,a3,a4,0,0)
?
所以r(a1,a2,a3,a4,a4+b,b)=r(a2,a3,a4)=3<5
所以齐次线性方程组的
(a1,a2
,a3,a
4,a4+b)X=0
基础解系中有
2个线性无关的解向量,
非齐次线性房出租
(a1,a2,a3,a4,a4
+b)X=b有无穷多解
骣
-1
琪
琪琪2
由(Ⅰ)中的-a1+2a2+3a4=0?(a1,a2,a3,a4,a4 b)琪琪0=0琪3
琪
琪
桫0
2a1-3a2+a3+5a4=b即
2a1-3a2+a3+5a4-b=0?(a1,a2,a3,a4,a4
骣
骣
-
琪2
琪1
琪
琪
2
-3
琪
琪
且h1
=琪0
,h1
=琪1
线性无关
琪
琪
琪3
琪6
琪
琪
琪
琪
0
-1
桫
桫
骣
-1
琪
琪2
琪
所以a1,a2,a3
,a4,a4
+b
X=0的基础解系为h1
=琪0
(
)
琪
琪3
琪
琪桫0
骣琪0
琪琪0
由(a1,a2,a3,a4,a4+b)琪琪0=b琪-1
琪
琪
桫1
骣琪2
琪琪-3
可得(a1,a2,a3,a4,a4+b)X=b的一个特解为h=琪琪1
琪5
琪
琪
桫0