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一、学生起点分析
学生的知识技能基础:学生在七年级已经学****了整式的加、减、乘、除运算
和等式的基本性质,并能进行简单的恒等变形;上节课又已经通过测量和数格子
的方法,对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理,但没有对一般的直角三角
形进行验证.
学生活动经验基础:学生在以前数学学****中已经经历了很多独立探究和合作
学****的过程,具有了一定的自主探究经验和合作学****的经验,具备了一定的探究
能力和合作与交流的能力;学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学****中已
经具备了一定的拼图活动经验.
二、教学任务分析
本节课是八(上)勾股定理第1节第2课时,是在上节课已探索得到勾股定
理之后的内容,具体学****任务:通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思
想;应用勾股定理解决一些实际问题,体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生
应用数学解决实际问题意识和能力,
目标是:
,并能应用勾股定理解决一些实际问题.
,经历勾股定
理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
,培养探究能力和合作精神;通过对勾股定理历
史的了解,感受数学文化,增强爱国情感,并通过应用勾股定理解决实际问题,
培养应用数学的意识.
用面积法验证勾股定理,应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重
点.
三、教学过程
本节课设计了七个教学环节:(一)复****设疑,激趣引入;(二)小组活动,
拼图验证;(三)延伸拓展,能力提升(四)例题讲解,初步应用;(五)追
溯历史,激发情感;;(六)回顾反思,提炼升华;(七)布置作业,课堂延
:.
第一环节:复****设疑,激趣引入
内容:教师提出问题:
(1)勾股定理的内容是什么?(请一名学生回答)
(2)上节课我们仅仅是通过测量和数格子,对具体的直角三角形探索发现
了勾股定理,对一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢?这需要进一步验证,
如何验证勾股定理呢?事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课
我们也将去验证勾股定理.
意图:(1)复****勾股定理内容;(2)回顾上节课探索过程,强调仍需
对一般的直角三角形进行验证,培养学生严谨的科学态度;(3)介绍世界上有
数百种验证方法,激发学生兴趣.
效果:通过这一环节,学生明确了:仅仅探索得到勾股定理还不够,还
,马上就有了去寻求属于自己的方
法的渴望.
第二环节:小组活动,拼图验证.
内容:活动1:教师导入,小组拼图.
教师:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的
四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.(请每位同学用2分
钟时间独立拼图,然后再4人小组讨论.)
活动2:层层设问,完成验证一.
学生通过自主探究,小组讨论得到两个图形:
图2图1
在此基础上教师提问:
(1)如图1你能表示大正方形的面积吗?能用两种方法吗?(学生先独立:.
思考,再4人小组交流);
(2)你能由此得到勾股定理吗?为什么?(在学生回答的基础上板书
1
(a+b)2=4×ab+b2c2)
2
从而利用图1验证了勾股定理.
活动3:自主探究,完成验证二.
教师小结:我们利用拼图的方法,将形的问题与数的问题结合起来,联系整
式运算的有关知识,从理论上验证了勾股定理,你还能利用图2验证勾股定理
吗?
(学生先独立探究,再小组交流,最后请一个小组同学上台讲解验证方法二)
意图:设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股
定理的验证作铺垫,同时也培养学生的动手、,学生在教
师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证,
活动3,让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形
结合的思想并体会成功的快乐.
效果:学生通过先拼图从形上感知,再分析面积验证,比较容易地掌握了本
节课的重点内容之一,并突破了本节课的难点.
第三环节延伸拓展,能力提升
:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足
a2+b2=c2
_c_a
_a
_c
_b_b
,且两直角边长度比为3:4,求两直角:.
边的长。
意图:在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系,那么锐角三角形或钝
角三角形的三边是否也满足这一关系呢?学生通过数格子的方法可以得出:
如果一个三角形不是直角三角形,那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2。通过这
个结论,学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识,并为后续直角三角形
的判别打下基础。
第四环节:例题讲解初步应用
内容:例题:飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方
4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩子头顶5000米,飞机每小时飞行多
少千米?
意图:(1)初步运用勾股定理解决实际问题,培养学生应用数学的意识和
能力;(2)体会勾股定理的应用价值.
效果:学生对这样的实际问题很感兴趣,基本能把实际问题转化为数学问题
并顺利解决.
第五环节:追溯历史激发情感
活动内容:由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.
国内调查组报告:用图2验证勾股定理的方法,据载最早是三国时期数学家
赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,我国历史上将图2弦上的正方形称为弦
(ICM-2002)在北京召开,这届大会会标的中央图案
正是经过艺术处理的弦图,这既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的
风车,欢迎来自世界各地的数学家们!
国际调查组报告:勾股定理与第一次数学危机.
约公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊
人的事实,(勾股:.
定理),若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数,它不能表示成两个
整数之比,这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭,而且建立在任何两个
线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁,第一次数学危机由此爆发.
据说,毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒,为了保守秘密,最后
将希帕索斯投入大海.
不能表示成两个整数之比的数,“无
理的数”,无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机
实数的知识.
趣闻调查组报告:勾股定理的总统证法.
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在
散步,欣赏黄昏的美景……他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个
小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,
使他循声向两个小孩走去,
a
见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角
形……
b
于是这位中年人不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给c
他留下c
,终于弄清楚了其中的道a
b
理,并给
出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这
一证法.
1881年,这位中年人—,人们为
了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”
证法.
说明:这个环节完全由学生来组织开展,教师可在两天前布置任务,让部分
同学收集勾股定理的资料,并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示,内容可
:.
意图:(1)介绍与勾股定理有关的历史,激发学生的爱国热情;(2)学生
加强了对数学史的了解,培养学****数学的兴趣;(3)通过让部分学生搜集材料,
展示材料,既让学生得到充分的锻炼,同时也活跃了课堂气氛.
效果:学生热情高涨,对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣,同时也为中国
:当代中国数学成就不够强,还应发奋
,这让我喜出望外.
第六环节:回顾反思提炼升华
内容:教师提问:通过这节课的学****你有什么样的收获?师生共同畅谈收
获.
目的:(1)归纳出本节课的知识要点,数形结合的思想方法;(2)教师了
解学生对本节课的感受并进行总结;(3)培养学生的归纳概括能力.
效果:由于这节课自始至终都注意了调动学生学****的积极性,所以学生谈的
收获很多,包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想,学生对勾股定理
的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.
第七环节:布置作业,课堂延伸
内容:教师布置作业
,2,3
,搜集至少1种勾股定理的其它证法,至少1
个勾股定理的应用问题,一周后进行展评.
意图:(1)巩固本节课的内容.(2)充分发挥勾股定理的育人价值.
六、教学设计反思
勾股定理作为“千古第一定理”其魅力在于其历史价值和应用价值,因此我
,再在课堂上进行展示,这
极大地调动了学生,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了他们收集、整理
,也是本节课的难点,为了突破
这一难点,我设计了拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)
入手,师生共同探究得到方法1,
:.
如果学生的程度较好可以按照本教学设计进行教学,并且可以把分层练****中
“知识拓展”作为课堂教学内容.
如果学生程度稍差,可以舍弃第三环节以及第五环节中的(2)(3)两个问
“基础训练”作为课堂过关使用.
小升初专项卷
一、认真审题,填一填。(每小题3分,共30分)
,甲、乙、丙三个三角形面积的比是
()。
,时针从“1”绕点O顺时针旋转90°后指向(),时针从
“1”绕点O顺时针旋转180°后指向()。
,学校在小芳家北偏西60°的方向上,那么小芳家在学
校()偏()60°的方向上。
,从正面看到的形状是,从左面看到的形状
是,搭一个这样的立体图形至少要()个小正方体,最多要
()个小正方体。
,直径为30米,,最多
能栽()棵树。
,如果正方形的面积是16cm2,那么这个圆的
周长是()cm,面积是()cm2。:.
,表面积是()cm2,至少
还需要()个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。
,瓶底的面积和锥形高脚杯口的面积相等,将瓶子中的液体倒入
锥形高脚杯中,能倒满()杯。(瓶壁与杯壁厚度不计)
,如果下底缩短8cm,就成为一个平行四边
形,并且面积减少28cm2,原梯形的高是()cm。
“转化思想”来解决问题,比如圆柱的体积计算。把
一个高为10cm的圆柱切成若干偶数等份,拼成一个近似的长方体(如图),
,那么圆柱的体积是()cm3。
二、仔细推敲,选一选。(将正确答案的序号填在括号里)(每小题2分,
共16分)
,这个圆的周长是这个正方形周长的
()。
π2π4
.
2π4π
()。:.
“底面积×高”来计算的是()。
,,若将这两个圆柱分别切削成
两个最大的圆锥,则这两个圆锥的体积之差()。
1
,圆柱形容器内的沙子(阴影)占容器容积的,
3
倒入()内正好倒满。
,下面是从不同方
向看到的图形。这个模型的体积是()立方厘米。
8个角上各锯下一个棱长为1cm的小正方体,现在的表面积和原来相比,
()。
,阴影部分面积相等的图形有()。:.
三、动手操作,我能行。(共12分)
,把三角形ABC的边BC延长到D。
(1)∠3和∠4拼成什么角?(3分)
(2)你能说明∠1+∠2=∠4吗?(3分)
,并完成填空。(每个小方格的边长是1cm)
:.
(1)画出将圆向下平移4格后的图形,平移后点O的对应点的位置用数对表
示是(,)。(3分)
(2)以线段AB作为底,分别画出两个面积是6cm2的三角形ABC和三角形
ABD。(3分)
四、细心的你,算一算。(共14分)
。(4分)。(4分)
。(6分)
五、聪明的你,答一答。(共28分)
(如下图)。现在要沿着水池外边用
地砖铺一条宽1m的小路,需要多少平方米的地砖?(6分)
(无盖),底面直径是20cm,高是30
cm。
(1)至少需要多少平方分米的钢化玻璃?(5分)
:.
(2)给鱼缸里倒入15cm高的水,典典把一块珊瑚石放入鱼缸并完全浸入,
水面升高了5cm,珊瑚石的体积是多少?(5分)
,,高是3米,把这堆小
麦装进底面直径是4米,高是2米的圆柱形粮囤里(厚度忽略不计),可以装
多高?(得数保留两位小数)(6分)
,小欣一家去游览了绿博园里开放的三个民俗展馆。游览
途中,小欣去购买了3瓶矿泉水,小欣喝了一瓶的一部分。经过简单的测量,
请帮小欣算出这个瓶子的容积。(6分)
★挑战题:天才的你,试一试。(10分)
从一个棱长是4cm的正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径
,高是1cm的圆柱,这个正方体现在的表面积是多少?:.
答案
一、:2:
二、
三、1.(1)∠3和∠4拼成平角。
(2)三角形的内角和是180°,所以∠1+∠2+∠3=180°,而∠3+∠4
=180°。故∠1+∠2=∠4。
2.(1)如图。(3,2)
(2)如图。
(三角形画法不唯一)
四、×4+4×2=(dm)
×8-4×4÷2=24(cm2)
【点拨】把半圆内的右边阴影部分旋转到左边。
÷2=1(cm)
1
53+×12×6+×12×3×
3
=125++
=(cm3)
五、÷2=10(m)10+1=11(m)
×(112-102)÷2=(m2):.
答:。
2.(1)20÷2=10(cm)
102×+20××30=2198(cm2)=
答:。
(2)102××5=1570(cm3)
答:珊瑚石的体积是1570cm3。
÷÷2=(米)
4÷2=2(米)
1
×××3=(立方米)
3
÷(22×)≈(米)
答:。
×(6÷2)2×(5+15)=(cm3)
=
答:。
挑战题:增加的表面积:×2××1×6=(cm2)
4×4×6+=(cm2)
答:。
【点拨】从正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径是
,高是1cm的圆柱时,没有挖穿,增加的表面积是6个圆柱的
侧面积。