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常见统计分布及其特点.docx

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常见统计分布及其特点.docx

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一、二项分布
二项分布(BinomialDistribution),即重复n次的伯努利试验(BernoulliExperiment),用ξ表示随机试验的结果,若是事件发生的概率是P,则不发生的
概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是。
二、泊松poisson分布
1、看法
当二项分布的n很大而np。平时当n≧10,p≦

p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中时,就可以用泊松公式近似得计算。

λ为
2、特点——希望和方差均为

λ。
3、应用(固定速率出现的事物。)——在实质事例中,当一个随机事件,比方
某电话交换台收到的呼叫、抵达某公共汽车站的乘客,以固定的平均瞬时速率λ
(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内
出现的次数或个数就近似地遵从泊松分布
三、平均分布uniform
设连续型随机变量X的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b
则称随机变量X遵从[a,b]上的平均分布,记为X~U[a,b]。
四、指数分布ExponentialDistribution
1、看法
2、特点——无记忆性
(1)这种分布表现为均值越小,分布偏斜的越厉害。
2)无记忆性
当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)即,若是T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总合使用最少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用最少s小时的概率相等。
3、应用
在电子元器件的可靠性研究中,平时用于描述对发生的弊端数或系统故障数的测
量结果
五、正态分布Normaldistribution
1、看法
2、中心极限制理与正态分布(说了然正态分布的广泛存在,是统计解析的基础)
中心极限制理:设从均值为μ、方差为σ^2;(有限)的任意一个整体中抽取样
本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似遵从均值为μ、方差
为σ^2/n的正态分布。
3、特点——在整体的随机抽样中广泛存在。
4、应用——正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础
定理一:设X1,X2,X3.。。Xn是来自正态整体N(μ,δ2)的样本,则有
样本均值X~N(μ,δ2/n)——整体方差常常未知,用t分布很多
六、χ2卡方分布(与方差有关)chi-squaredistribution
1、看法
若n个互相独立的随机变量ξ?、ξ?、、ξn,均遵从标准正态分布(也
称独立同分布于标准正态分布),则这n个遵从标准正态分布的随机变量的平方和
?构成一新的随机变量,其分布规律称为?卡方?分布(chi-square
distribution),其中参数n称为自由度
【注意】假设随机搅乱项呈正态分布。因此,卡方分布可以和RSS残差平方和联
系起来。用RSS/δ2,所得的变量就是标准正态分布,就遵从卡方分布。
2、卡方分布的特点
(1)
分布的均值为自由度n,记为E( )=n。(这个简单证明)
(2)
分布的方差为
2倍的自由度(2n),记为D(
)=2n

(3)若是
?互相独立,则:(独立可加减)
?遵从?
?分布,自由度?
?;
?遵从?
?分布,自由度为?
?
3、图形特点
4、应用
定理二,设X1,X2,X3.。。Xn是来自正态整体N(μ,δ2)的样本,则有
样本均值X~N(μ,δ2/n)
(1)正态分布以及卡方分布是F检验的基础。大量的检验用到了F检验:F检
验、三大检验。
七、t学生分布(用样本方差s来标准化)——Student's?t-distribution
1、看法(适用于δ2未知)
【理解】把样本标准正态化的U变换前提是方差已知,但整体方差是未知的,因此用样本方差来代替整体方差。依照中心极限制理,抽样遵从方差为整体方差
除以n的正态分布。
由于在实质工作中,常常σ是未知的,常用
差异,称为t变换,统计量t值的分布称为

s作为σ的估计值,为了与u变换
分布(u变换指把变量变换为标准
正态分布)
【思虑】为什么样本方差比整体方差要小?由于一个是整体方差,一个是样
本均值的方差。不相同
2、特点
1)与标准正态分布曲线对照,自由度v越小,t分布曲线愈平坦,曲线中间愈
低,曲线双侧尾部翘得愈高;自由度v愈大,t分布曲线愈凑近正态分布曲线,当
自由度v=∞时,t分布曲线为标准正态分布曲线。
定理三:设X1,X2,X3.。。Xn是来自正态整体N(μ,δ2)的样本,则有
样本均值X~N(μ,δ2/n),S为样本方差
X
μ
~t
(
)
S/
n
n-1
【注意】S是样本方差。中心极限制理说的是样本均值
的方差。
八、F分布F-distribution
1、看法
F分布定义为:设X、Y为两个独立的随机变量,X遵从自由度为k1的卡方分
布,Y遵从自由度为k2的卡方分布,这2个独立的卡方分布被各自的自由度除以
后的比率这一统计量的分布
2、特点
(1)它是一种非对称分布;
(2)它有两个自由度,即

n1-1

和n2-1,相应的分布记为

F(

n1

–1,n2-1

),
n1

–1平时称为分子自由度,

n2-1

平时称为分母自由度;
(3)F分布是一个以自由度

?

?和?

为参数的分布族,不相同的
自由度决定了

F分布的形状。
4)F分布的倒数性质:
5)残差平方和之比平时与F分布有关。
九、逻辑分布logistic(分类评定模型)——最早应用最广的失散选择模型
1、看法
2、特点
用作增添曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。
Logistic分布由尺度和地址参数描述。Logistic分布没有形状参数,也就是说
其概率密度函数只有一个形状。
以下列图形显示了不相同参数值对Logistic分布的效应。
尺度参数的效应地址参数的效应
Logistic分布的形状与正态分布的形状相似,但Logistic分布的尾部更长。
十、伽马分布
1、看法——伽玛分布(GammaDistribution)是统计学的一种连续概率函数。
Gamma分布中的参数α称为形状参数(shapeparameter),β称为尺度参数(scale
parameter)。
假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间,密度函数为
特点函数为
伽马分布的可加性
当两随机变量遵从Gamma分布,且单位时间内频率相同时,Gamma
数学表达式
若随机变量X拥有概率密度
其中α>0,β>0,则称随机变量X遵从参数α,β的伽马分布,记作G(α,β).
九、extremevaluedistribution极值分布
十、DF分布与ADF分布——用于时间序列平稳性的单位根检验。
八、pareto分布
十、weibull分布