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目录
......................................................................................................1
(高斯分布)...........................................................................2
......................................................................................................2

(分布).............................................................................2
..................................................................................................3
.............................................................................................4
(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布).................5
................................................................................................6
(柯西分布、柯西-洛伦兹分布)...............................7
2
(卡方分布).........................................................................7
........................................................................................................8

........................................................................................................9

................................................................................................10

.............................................................10
(Poisson分布)
.......................................................................................11

均匀分布X~U(a,b)是无信息的,可作为无信息变量的先验分布。
1
f(x)
ba:.
ab
E(X)
2
(ba)2
Var(X)
12
(高斯分布)
当影响一个变量的因素众多,且影响微弱、都不占据主导地位时,这个变量
很可能服从正态分布,记作X~N(,2)。正态分布为方差已知的正态分布
N(,2)的参数的共轭先验分布。
(x)2
1
f(x)e22
2
E(X)
Var(X)2

指数分布X~Exp()是指要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间。其
中0为尺度参数。指数分布的无记忆性:PXst|XsP{Xt}。
f(x)ex,x0
1
E(X)

1
Var(X)
2
(分布)
:.
Beta分布记为X~Be(a,b),其中Beta(1,1)等于均匀分布,其概率密度函数
可凸也可凹。如果二项分布B(n,p)中的参数p的先验分布取Beta(a,b),实验数
据(事件A发生y次,非事件A发生n-y次),则p的后验分布Beta(ay,bny),
即Beta分布为二项分布B(n,p)的参数p的共轭先验分布。

(x)tx1etdt
0
(ab)
f(x)xa1(1x)b1
(a)(b)
a
E(X)
ab
ab
Var(X)
(ab)2(ab1)

Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布,解决的
问题是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间”,记为X~Ga(a,b)。
其中a0为形状参数,b0为尺度参数。Gamma分布为指数分布Exp()的参
数、Poisson分布P()的参数的共轭先验分布。
ba
f(x)xa1ebx,x0
(a)
a
E(X)
b
a
Var(X)
b2:.

倒Gamma分布记为X~IGa(a,b)。若随机变量X~Ga(a,b),则
1
~IGa(a,b)。其中a0为形状参数,b0为尺度参数。倒Gamma分布为指数
X
1
分布Exp()的参数、均值已知的正态分布N(,2)的参数2的共轭先验分布。

ba
f(x)x(a1)ebx,x0
(a)
b
E(X)
a1
b2
Var(X),a2
(a1)2(a2):.
(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)
威布尔分布记为X~W(m,)。其中m0为形状参数,0为尺度参数。当
m1,它是指数分布;m2时,是Rayleighdistribution(瑞利分布)。常用于拟
合风速分布,并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
m1xm
mx
f(x)e,x0


1
E(X)1

m
2
21
Var(X)211

mm

:.

Pareto分布记为X~Pa(a,b)。其中b0为门限参数,a0为尺度参数。
Pareto分布是一种厚尾分布。Pareto分布为均匀分布U(0,)的参数的共轭先验
分布。
aba1

f(x),xb
bx
ab
E(X),a1
a1:.
ab2
Var(X),a2
(a1)2(a2)
(柯西分布、柯西-洛伦兹分布)
Cauchy分布记为X~Ca(a,b)。其中a为位置参数,b0为尺度参数。中
位数Mode(X)a,期望、方差都不存在。如果X,X,,X是分别符合柯西分
12n
布的相互独立同分布随机变量,那么算术平均数X,X,,X/n服从同样的
12n
柯西分布。标准柯西分布Ca(0,1)是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合
那种比较扁、宽的曲线。
1b
f(x)
b2(xa)2
10.2分布(卡方分布)
n
设X,X,,X是来自N(0,1)的样本,则称统计量2X2服从自由度
12ni
i1
为n的2分布,记为2~2(n)。
1nx
1
f(x)x2e2,x0
nn
22
2
E(X)n
Var(X)2n:.

X
设X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y相互独立,则称随机变量t服从
Y
n
自由度为n的t分布。记为t~t(n)。当自由度n时,t分布将趋于N(0,1)。
有时样本量很小,不知道总体的标准偏差,则可以依赖t统计量(也称为t分
X
数)的分布,其值由下式给出:~t(n1),其中X是样本均值,μ是总
s
n
体均值,s是样本的标准偏差,n是样本大小。
n1
n1
2
2x2
f(x)1
nn
n
2
E(X)0
n
Var(X),n2
n2:.

U
n
设U~2(n),V~2(n),且U,V相互独立,则称随机变量F1服从
12V
n
2
自由度为(n,n)的F分布,记为F~F(n,n)。设X,X,,X与Y,Y,,Y分
121212n112n2
别是来自正态总体N(,2)和N(,2)的样本,且这两个样本相互独立。设
1122
X,Y分别是这两个样本的样本均值;s2,s2分别是这两个样本的样本方差,
12
s2
1
s2
则有2~F(n1,n1);当222时,
21212
1
2
2
(XY)()(n1)s2(n1)s2
12~t(nn2),其中s21122。
1112wnn2
s12
wnn
12
n1
nnn2n1
1
121x2
2n
f(x)2,x0
n1n2
nnn2
1211x
22n
2
n
E(X)1,n2
n21
1
2n2(nn2)
Var(X)112,n4
n(n2)2(n4)1
211:.

二项分布十分好理解,给你n次机会抛硬币,硬币正面向上的概率为p,问
在这n次机会中有k次(k≤n)硬币朝上的概率为多少。记为X~B(n,p)。当n
足够大,且p不接近于0也不接近于1时,二项分布B(n,p)可用正态分布
N(np,np(1p))来近似。
n!
P(Xk)pk(1p)nk,p[0,1]
(nk)!k!
E(X)np
Var(X)np(1p)
(Poisson分布)
泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”,记为X~P()。:.
np
当二项分布满足时,二项分布近似为泊松分布。泊松分布P()当足够
n
大时,变成正态分布N(,)。
ke
P(Xk),0
k!
E(X)
Var(X)

对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y是正
态分布的随机变量,则exp(Y)是对数正态分布;同样,如果X是对数正态分布,
则ln(X)为正态分布,如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积,则这
个变量可以看作是对数正态分布,如拟合风速分布模型,记为X~LN(,2)。
(lnx)2
1
f(x)e22,x0
2
2

E(X)e2
Var(X)(e21)e22

当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时,
这个向量的模呈瑞利分布。
x2
x
f(x)e22,x0
2
:.

E(X)
2
4
Var(X)2
2
:.