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立项编号
 LYKT140402
洛阳市基础教育科研课题
《数学新课程理念下的高考命题研究》结题报告
 
学科分类高中数学
课题名称数学新课程理念下的高考命题研究
课题主持人徐总辉
课题组成员昌义峰罗创国曹利京翟焕英张晓锋
主持人工作单位河南省伊川县实验高中
 
洛阳市教育局中小学教研室
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【一】数学试卷的命题特点
“四基”
“四基”是指基本知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验;数学考试,要发挥数学作为主要基础学科的作用,要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度,要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平,是学生进入高校继续学****的基础,也是走向社会参加实践活动的必备知识。根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据国家教育部2002年4月颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》,在传统教材内容的基础上,提出把“概率统计、微积分初步”作为新的内容。而将“与时俱进地认识‘四基’”作为高中数学的基本理念之一也在2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准》中提出,同时,为了适应信息时代发展需要而新增加了“算法内容以及基本的数据处理、统计知识”作为新的数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法,为注重“四基”提供了事实依据。
“四基”是能力的基础,切实落实好“四基”教学,对于提高学生的数学能力和数学素质至关重要。但是, “四基”教学不能简单的重复,不能停留在结论层面上,要在运用的过程中,加深对 “四基”的理解。要以问题的研究过程为依托,反复揣摩“四基”的内涵,使“四基”成为“活”的知识。
事实上,传统意义上考查的“集合、函数概念与初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)、立体几何初步、平面解析几何初步、基本初等函数Ⅱ(三角函数)、平面向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式、简易逻辑、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何、导数及其应用、数系的扩充与复数的引入、排列组合与二项式定理、概率”等十六个知识要点理所当然的属于“四基”的范畴,此外,课标版教材中新增加的三视图、算法初步、定积分、几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程等内容,以及处理涉及这些知识内容的问题中所用的方法技能,包括课本中推导公式、法则、定理时所用的方法和技能,都是新课改下要求我们“与时俱进认识”的新“四基”。
注重“四基”考查的掌握程度是多年来数学高考命题经验的结晶,也是整个高考试题的基石,因此,新课改下的高考数学命题,应当全面关注“四基”内涵,扩大命题的视野,保持高考命题覆盖面广、起点低、坡度缓的特点,平稳发展。这样,既有利于考生情绪的稳定和高效发挥考生的水平;又有利于全面考查学生后续学****必需的知识。由以上分析可知,注重
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“四基”的考查是维护多方面的“稳定”之举。
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学,是自然科学、社会科学、管理科学与技术科学等学科的基础和工具,高度的抽象性和严密的逻辑性是数学学科最基本的特点,高考数学试题的命制应该体现数学学科的上述特点,具体来说,就是体现概念的深刻性、思辨的逻辑性和量化的精确性。
⑴概念的深刻性:概念的深刻性强是数学学科的一个基本特征,数学中所有内容都是以概念作为它的基本元素,由概念组成命题,由命题组成整个逻辑系统,因此,高考数学命题,如2014年数学试卷依然非常关注对概念性知识的考查,这种命制,从数学学科的整体高度考虑问题,体现高考对数学概念考查的力度和要求,并且这一命题视角将坚持不变,这类试题的命制,既要注意对课本中已有的现成概念、公式和理论的考查,又要注意对课本中没有的全新概念、公式和理论的考查,对于这些概念、公式和理论,不但要知道能解决什么问题,而且在出现不同题型考查这个知识点时要能灵活运用,达到熟练解决问题的目的,有效的检测考生理解问题的程度。
例1(2014年全国课标Ⅰ第19题)已知数列{}的前项和为,=1,,,其中为常数.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.
此题将命题视角聚集在了考查等差数列的概念上,有效地考查了学生的分析、推理、判断能力,以及应用所学知识解决问题的能力,是考查概念深刻性的好题。
⑵思辨的逻辑性:数学的思辨性通常表现为思维的逻辑性和推理的严密性。尽管现代数学教育理论认为数学也具有实验性的一面,但其根本性的一面,仍是依靠逻辑思维和演绎推理获得的完整的逻辑体系,它在培养和提高学生思维能力方面发挥着独特的作用。无疑,命制一些思辨性,具有一定思维价值的是试题,是数学高考命题的必然趋势。要充分利用那些具有思辨价值的素材,如相近概念的辨析、案例错因的揭示、结论真伪的判断、似是而非问题的甄别等等,以此考查考生思辨的逻辑性,检测考生的思维能力和思维水平。
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⑶量化的精确性:“数学”是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,是一门“数的学问”。许多问题的解决一般都离不开数量关系的建构与数学式子的推演。数量关系作为数学研究的一个重要方面,当然是数学高考不可缺少的重要内容之一。《考试大纲》里就特别强调,考查计算既要特别强调算比,也就是说你用什么样的原则,你就用什么样的思路进行计算,这比具体的套一个公式的计算更有利于思维能力的考查,再比如说在有关立体几何中几何量的计算当中,仍然需要明确如何正确地去思考这个图形,如何在解题过程当中正确地画出这个图形,而且在画出这个图形的过程中要把这个图形的数量特征体现的非常明确,这样才能进行正确的计算。这样一来它既考查了立体几何中一些最基本的概念和基本的计算公式,而更重要的是通过你的空间想象能力来体现你的思维能力和水平,这样的出题方式也是《考试大纲》非常明确强调的一个命题原则。
《大纲版考试大纲》中明确规定,高考数学中考查五种能力:思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。而《课标版考试大纲》中把数学能力更进一步界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。以思维能力为核心,对所学知识的探究、实践和解决实际问题能力的考查更加明显;试题的选拔功能更加突出。因而,新课改下的高考命题指导思想也由原来的“知识立意”改为“能力立意”,按照“考查知识的同时,注重考查能力”的原则。
⑴空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确的分析出图形中基本元素及相互关系;能对图形进行分解、组合与变换;会运用图形与图表等手段形象的揭示问题的本质。空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察、研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言,以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想象和无图想象两种,是空间想象能力高层次的标志。这些都是多年来高考试题中重点考查的数学技能。
⑵抽象概括能力:抽象概括能力是对具体的、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断。因此,高考数学的命制应围绕着欲考查的某类知识的本质,并有意识地、不露痕迹的
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“隐藏”它们的共同属性,以此来引发考生观察和分析,实现对抽象概括能力考查的目的。
⑶推理论证能力:推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成,,,,再运用演绎推理进行证明。
例2(2014年全国课标Ⅰ第14题)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为.
“没有公式,没有原理,没有运算,只考查推理能力。”考试中心数学命题专家说。高考数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题真实性初步的推理能力,因此,高考数学命题时,应设计一些诱发猜想、论证确认的试题,考查考生的合情推理与演绎推理能力。
例3(2014年全国课标Ⅰ第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,,AB=BC
求二面角的余弦值.
本小题考查线面垂直的应用以及二面角的求法,考查逻辑思维能力、空间想象能力推理能力,以及运算能力。
⑷运算能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能根据问题的条件和目标,寻找与设计合理的、简捷的运算途径;能根据要求数据进行估计和近似计算。
运算能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数值的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。数学问题的解决离不开运算。因此,高考数学一直以来都重视对运算能力的考查。
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⑸数据处理能力:对数据(包括数值的和非数值的)进行分析和加工的技术过程。包括对各种原始数据的分析、整理、计算、编辑等的加工和处理。因此,高考数学命题中也出现了一些实际应用问题,考查考生整理与分析数据的能力。
例4(2014年全国课标Ⅰ第18题)
从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(,)的产品件数,利用(i)的结果,求.
附:≈.
若~,则=,=.
本题将命题视角放在了处理数据的能力和分析解决问题的能力上,在将统计中的频率分布直方图的基础知识穿插到数学学科上,使数据能力的考查更为突出。
⑹应用意识:面对实际问题,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。①在实际情境中发现问题和提出问题的意识;②主动应用数学知识解决问题的意识。近几年的数学高考中,也一直把应用问题的命制,着眼于“函数模型、数列模型、不等式模型、三角模型、立体几何模型、解析几何模型、线性规划模型、算法模型、计数原理与概率统计模型、导数模型、创新性
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