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浙江农林大学2023年度数学建模
大赛参赛论文
●选择赛题:【A】【B】【C】【D】
注:用2B铅笔将所选择的题目涂黑
●论文题目:深圳人口与医疗需求预测
●参赛队员个人信息:
姓名
性别
学院
年级
学生证号
签名
缪家顺
男
集贤学院
大一
202324020236
哀嘉彬
男
农学院
大一
202301140127
徐梦婷
女
农学院
大二
202316020233
注:前五栏为四号宋体,最后一栏用黑色中性笔签名。
深圳人口与医疗需求预测
摘要:“深圳人口与医疗预测〞模型通过对深圳市人口年龄分布情况、户籍和非户籍人口数据进行深入分析。利用数学知识联系实际问题,在合理简化假设根底上,利用matlab作出相应的解答和处理。
针对问题一,我们通过对深圳市历年人口数据的分析建立矩阵。利用Matlab最小二乘法散点拟合,构造一个解析函数。并利用Logistic增长模型,得出年份与年末常住人口的函数模型,预测出未来十年深圳市人口数量增长趋势。人口增长趋势大致呈二次函数形式。得出未来十年人口数据为:=,,=,,=。运用所给数据,得出儿童、青壮年、老年在不同年份中的比例模型,再通过matlab最小二乘法拟合散点得出函数关系。计算得出未来十年人口结构开展趋势,人口结构大致呈“S〞型开展。=%,=%,=%,,=%,=%,=%.通过对年龄结构与患病率的相关,患病率和住院率相关,住院人口数和床位相关的分析,建立模型,预测出未来十年全市和全区医疗床位需求。以2023年为例:罗湖区=2128,福田区3060,南山区=2534,宝安区=9329,龙岗区=4622,盐田区=733,总体床位需求=22406。
针对问题二,我们通过网络资料查阅及之前数据分析得出因医疗条件改良导致患病率的下降比例。用数据求解出A病占B人群的百分比,再通过已经预测的B类人群的数量求出A病在未来的病例数。建立模型:医院应当设置的床位数=医院每天就诊人数×平均住院天数。在求解过程中考虑因医疗条件改善导致的住院周期的降低。
2023年小儿肺炎的各医疗机构就医的实际床位需求为:
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
床位个数
816
231
203
2023年急性阑尾炎病对的各医疗机构就医的实际床位需求为:
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
床位个数
365
34
0
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问题的提出
深圳是我国经济开展最快的城市之一,30多年来,卫生事业取得了长足开展,形成了市、区及社区医疗效劳系统,较好地解决了现有人口的就医问题。
从结构来看,深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口,且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业效劳业人员。年轻人身体强壮,发病较少,因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平,但仍能满足现有人口的就医需求。然而,随着时间推移和政策的调整,深圳老年人口比例会逐渐增加,产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。
未来的医疗需求与人口结构、数量和经济开展等因素相关,合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求,是保证深圳社会经济可持续开展的重要条件。然而,现有人口社会开展模型在面对深圳情况时,却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题,请根据深圳人口开展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况〔医疗设施、医护人员结构等方面〕收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型,预测深圳未来的人口增长和医疗需求,解决下面几个问题:
问题一:
分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征,预测未来十年深圳市人口数量和结构的开展趋势,以此为根底预测未来全市和各区医疗床位需求。
问题二:
根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据,选择预测几种病〔如:肺癌及其他恶性肿瘤、心肌堵塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等〕在不同类型的医疗机构就医的床位需求。
问题的分析
问题一:对深圳未来人口及结构的预测问题,重点是求未来十年人口数量及结构的开展趋势。我们认为在短期内其年龄结构恒定。通过对所给数据的分析,分别建立年份矩阵A和年末常住人口数矩阵B,借助matlab最小二乘法散点拟合,得出年份与年末常住人口的函数关系式,通过二次函数的根本特征求出环境可容纳的人口最大数量K。通过Logistic增长模型,得出每一年的人口增长率,再运用matlab最小二乘法散点拟合,得出人口增长率与年份之间的函数关系式,得出未来十年深圳市每年的人口增长率。运用Logistic增长模型,得出深圳市未来十年的人口数量开展趋势。
按照年龄划分儿童、青壮年、老年三个年龄层,求出三个年龄层的比例模型,得出关系函数。计算得出未来十年的结构开展趋势。通过如下关系:年龄结构和患病率相关,患病率和住院率相关,住院人口数和床位有关,建立数学模型,预测得出未来十年的床位需求数。
问题二:对不同疾病在不同类型医疗机构就医床位需求预测的关键是医疗条件改良后,各患病比率的下降比。利用问题一得到的深圳市人口数量和结构的开展趋势。选择较简单的小儿肺炎和急性阑尾炎进行分析预测。通过资料差得医院每天就诊人数和平均住院天数,得到医院应设置的床位数。通过上网咨询得到医疗条件改善后各病的下降比例。求得所需床位数。
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问题假设
假设本问题所使用的数据都是真实有效的。
假设深圳处于一个长期稳定状态,无战争、瘟疫等突发事件影响。
假设各地区的病患无交换流动现象,只限于本地区活动。
假设未来十年深圳市民生育观念、生育能力不发生变化。
假设未来十年深圳市生育政策不发生变化。
假设0-14岁为儿童,15-60为青中年,大于60岁的为年老者。
假设同一年龄段的出生率与死亡率相等。
假设小儿肺炎就只发生在0-9岁的青少年身上。
建模过程
问题一:
定义符号说明:
:深圳市总人口数:各年龄层所占的比例
:各区域床位需求:全市床位需求
:2000年-2023年的年份矩阵:2000年-2023年的年末常住人口数矩阵
:每年年末常住人口数:年份
:年末常住人口数:相对误差
:环境可容纳的人口最大数量:初始时刻人数
:人口增长率:初始时刻
:全市的儿童比例:青中年人口比例
:老年人口比例:全市医疗床位总需求
:各区医疗床位需求:各区年龄结构比例
:全区总人数:全市总床位数
:住院率
模型建立:
①通过所给数据,列出2000年至2023年的年份矩阵:,
2000年至2023年年末常住人口数矩阵:〔〕。
Matlab最小二乘法散点拟合
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Matlab最小二乘法根本思路:利用离散点上的数据集,构造解析函数,使原离散点尽可能接近给定的值。
Matalab函数:
说明:x,y为数据点,n为多项式阶数,。
多项式曲线求值函数:
调用格式:
说明:为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
利用matlab最小二乘法散点拟合得出年份t与年末常住人口数x(t)的函数关系式:.
由此得出2001--2023年原始数据与拟合后所得数据的比照表:
表1
年份
原始数据〔人数:万人〕
拟合所得数据〔人数:万人〕
2001
2023
2023
2023
2023
2023
2023
2023
2023
2023
得到折线图,如下图:
根据公式,计算得出相对误差=.
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蓝线为深圳常住人口原始数字的曲线,红线为拟合模型的曲线,通过比照我们发现,通过拟合模型预测的值根本与实际人口吻合,但还存在一定的误差。为了减少误差,我们又从中选择了2023年-2023年的人口数量进行拟合,得到年份与年末常住人口数的函数关系:
,
得出2023—2023年原始数据与拟合后所得数据的比照表:
年份
2023
2023
2023
2023
2023
2023
原始数据
拟合结果
表2
根据上表得出折线图,如下图:
根据得出相对误差:=
蓝线为深圳常住人口实际数字曲线,红线为拟合模型的曲线,通过比照我们发现,拟合模型预测的值根本与实际人口几乎一致,同时通过MALTAB软件我们得出:
2023--2023年的更加接近现今生活节奏,且得出的相对误差较前一个表格小,所以运用2023年--2023年中年份与年末常住人口数的函数关系,得出二次函数顶点坐标为〔,〕,,设=4000万人。
②利用Logistic增长模型
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,
变换方程得.
其中为初始时刻时的人口数,为人口增长率,为环境可容纳的人口最大数量。
并且计算得出每一年较前一年的人口增长率,并得出年份与增长率的关系表:
表3
年份
2023--
2023年
2023--
2023年
2023--
2023年
2023--
2023年
2023--
2023年
增长率
由此通过matlab最小二乘法散点拟合的方法,得出2023年--2023年中年份与人口增长率的函数关系:
,
得出2023--2023年的人口增长率=,=,,=。将人口增长率与环境可容纳的人口最大数量代入方程式,得出2023--2023年中深圳市每年的人口数量。
对于预测深圳市人口结构的开展趋势,由假设6将深圳市人口按照不同的年龄划分为三个层次:儿童阶段为0--14岁;青中年阶段为15--59岁;老年阶段为60岁以上。为全市总人口数,为全市儿童总数量,为全市青壮年总数量,为全市老年人总数量,那么可得出全市各年龄层所占总人口数的比例:
,,。
得出2000、2023、2023年人口年龄组成如下表:
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年份
2000年
2023年
2023年
儿童比例〔%〕
中青年比例〔%〕
老年人比例〔%〕
表4
由于儿童的比例和老年人口的比例与人口开展紧密联系,因此可以重点研究儿童人口比例和老年人口比例的变化趋势,青壮年人口比例可以根据三者比例和为1得到。
设儿童比例为,青中年人口比例为,老年人口比例为,那么
.
为了简化模型,我们可以认为二者均为关于的线性函数,拟合得到:,
,
.
预测得到未来十年2023--2023年人口年龄组成表:
表5
年份
2023
2023
2023
2023
2023
儿童〔%〕
青中年〔%〕
老年〔%〕
年份
2023
2023
2023
2023
2023
儿童〔%〕
青中年〔%〕
老年〔%〕
可通过计算,预测得出2023--2023年,,。因此未来十年内深圳市将呈现增长向的趋势,虽然老年人的比例与少年儿童所占比例都在增加,但是<,老年人增长比率明显大于儿童增长比率,因此深圳市趋于人口老龄化。
模型分析:
在以上模型中,各因子我们均视为常量或线性变化量,但实际问题复杂的多,如人口自然增长率并不是一个常量,它受到环境容纳能力,人口自然增长与年龄结构和男女性别比例的影响,除此之外,人口政策、户籍政策、人均寿命都会影响到人口的增长和人口结构的变化,还有很多非客观的因素。因此在实际中可以参加考虑某些必要因子,将模型中的相关理想值转化为相关的变化函数,并重新参加到模型中,得到新的预测模型。
在年龄结构的预测中,我们将地区和城市人口种类设置为常住人口总量,在年龄组成上的差异性我们并没有考虑,因此模型会有一定的误差。
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人口预测模型在很大方面都有重要应用,研究人口变化可以作为相关重大国策制定的参考依据。本模型在研究城市人口时可以作为比拟有逻辑的数学模型,但需要加强研究各项相关因子的变化,以使模型更加准确。
假设光明新区和坪山新区是在2023年时新增加的两个区。并设定为全市医疗床位总需求量,为各区医疗床位需求量,不妨令.
设为各区年龄结构比例,为全区总人数,为全市总床位数,为全市总人数,为住院率,为区床位需求,那么:
区床位需求=各区年龄结构全区总人数〔全市总床位数/全市总人数〕,可得即.
由于所给数据有限,我们只得到了2000年和2023年的各区人数和各区中各个年龄层的人口数量分布,运用matlab最小二乘法拟合散点,得出2000--2023年各区床位需求大致走向是呈正向开展趋势,如下图:
2000--2023年各区床位需求曲线图
进而得出了各个区的床位需求量与年份的函数关系式:
罗湖区:,
福田区:,
南山区:,
宝安区:,
龙岗区:,
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盐田区:.〔取=11,12,,20〕
那么全市总床位需求,以此预测出未来十年的各区和全市医疗床位需求。
模型求解:
运用2023--(,〕,,求出2023--2023年每年人口增长率,通过matlab最小二乘法散点拟合的方法,得出2023--2023年中年份与人口增长率的函数关系:.
由此得出2023-2023年的人口增长率=,=,=,=,,,,,,=.
通过求出和预测得出的,〔万人〕分别为:,,,,,,,1356,,.
通过所给数据求出2000年,2023年,2023年各年龄层人口比例,另设儿童比例为,青中年人口比例为,老年人口比例为,那么
为了简化模型,我们可以认为二者均为关于的线性函数,拟合得到:
=+
=+
运用matlab最小二乘法拟合散点,得出2000--2023年各区床位需求大致走向是呈正向开展趋势。进而得出了各个区的床位需求量与年份的函数关系式:
罗湖区:福田区:
南山区:宝安区:
龙岗区:盐田区:
从而预测得出未来五年全市和各区医疗床位需求,并且列出表格:
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