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2007年至2008年第二学期第周星期
课题名称(含教材章节):第十二章无穷级数
教学目的和要求:1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,了解级数的基本性质及收敛的必要条件。2、掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3、掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。4、了解交错级数的莱布尼茨判别法。5、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7、理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理,会将定义在[-l,l]上的函数展开为傅里叶级数、正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点:1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别;3、交错级数的莱布尼茨判别法;4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域;5、傅里叶级数。
教学难点:1、比较判别法的极限形式;2、莱布尼茨判别法;3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛;4、函数项级数的收敛域及和函数;5、泰勒级数;6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
教学内容(要点)
常数项级数的概念和性质,常数项级数的审敛法,幂级数,
函数展开成幂级数,傅立叶级数,一般周期函数的傅立叶级数。
徐州工程学院教案纸
§12、1常数项级数的概念和性质
常数项级数的概念
设为一个数列,
则表达式
称为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为,即
(1)
其中称为级数的一般项。
对于级数(1),前项的和
称为级数(1)的前项和(部分和),即
,,,,
因此,级数(1)的前项和构成一个数列,也称为级数(1)的部分和数列。
定义如果级数的前项和数列有极限,即
则称无穷级数收敛,称为级数的和,并记为
或
如果数列没有极限,则称无穷级数发散。
例1无穷级数
称为等比级数(几何级数)其中,称为级数的公比。讨论级数的收敛性。
解:如果,部分和
因此,当时
故级数收敛于,或
,()
如果,由于,发散,得部分和数列没有极限,故级数发散。
例2证明级数是发散的。
证明:级数的部分和为
显然,,因此,级数是发散的。
例3判定无穷级数的收敛性。
解:由于
得
从而
故所给级数收敛,其和为1。
常数项级数的基本性质
性质1如果级数收敛于,则级数也收敛,且收敛于。
证明:设级数与的部分和分别为和,则
因此
性质2如果级数与分别收敛于和,则级数也收敛,且其和为。
证明:设级数与的部分和分别为和,则级数的部分和为
因此
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性。
证明:以去掉项为例。设级数为
去掉前项,得级数
由此得
由于为常数,故与同时有极限或同时没有极限,即级数
与
同时收敛或同时发散。
性质4如果级数收敛,则对这个级数的项任意加括号后所成的级数收敛,且其和不变。
证明:(略)
性质5(级数收敛的必要条件)如果级数收敛,则它的一般项趋向于零,即
证明:由于级数收敛,故其前项和数列收敛。又由于
得
注意:性质5的逆命题不真,例如调和级数
一般项,但级数发散。
内容小结:
无穷级数的概念:级数收敛、发散,部分和,余项
级数性质:
级数与敛散性相同;
收敛级数可以逐项相加;
在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性;
收敛级数加括号后仍收敛于原级数的和;
级数收敛的必要条件:一般项极限为零。
作业:
P2553(1)(2)、4(1)(3)
§12、2常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
如果,,则级数
称为正项级数。对于正项级数,其前项和数列满足
因此得
定理1正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和数列有界。
定理2(比较审敛法)设和都是正项级数,且()。若级数收敛,则级数也收敛;若级数发散,则级数也发散。
证明:设级数收敛于,则级数的部分和
()
即部分和数列有界,由定理1,级数也收敛。
反之,如果级数发散,从而他的部分和数列无界。又由于
得级数的部分和数列也无界,故级数发散。
推论设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在正整数,使当时,有成立,则级数也收敛;如果级数发散,且当时,有成立,则级数也发散。
例1讨论级数
的收敛性,其中常数。
解:当时,,由于级数发散,故发散。
当,由于时,有,因此
从而
因此,有界,所以,级数当时收敛。
综合得:级数当时收敛,时发散。
例2证明级数是发散的
证:由于,得。又由于级数
是发散的,由比较审敛法知道,级数发散。
定理3(比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数,且,则
如果,与同时收敛或同时发散;
如果,收敛时,也收敛;
如果,发散时,也发散。
证明:(1)由于,取,存在正整数,当时
或
即或()
因此得:如果收敛,也收敛;如果收敛,也收敛;如果发散,也发散;如果发散,也发散。
例3判定级数的收敛性。
解:因为
而级数发散,由比较审敛法的极限形式知,原级数发散。
例4判定级数的收敛性。
解:
而级数收敛,由比较审敛法的极限形式知,原级数收敛。
定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)设为正项级数,如果
则当时级数收敛;当(或)时级数发散;当时级数可能收敛也可能发散。
证明:设,由于,存在使得,由极限定义,存在正整数,当时
即
,,,
,
由于收敛,得收敛,从而收敛。
注意:对于,一定有,但级数可能收敛也可能发散。
例5证明级数
收敛,并估计用级数的部分和近似代替级数的和所产生的误差。
解:因为
故级数收敛。
用级数的部分和近似代替级数的和所产生的误差为
例6判定级数
的收敛性。
解:由于
故级数是发散的
定理6(极限敛审法)设为正项级数,
(1)如果,则级数发散;
(2)如果,而,则级数收敛。