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在初等数学中,我们用代入消元法或加减消元法求解
二元和三元线性方程组,可以看出,线性方程组的解完
全由未知量的系数与常数项所确定.
为了更清楚地表达线性方程组的解与未知量的系数
和常数项的关系,我们在本章先引入二阶和三阶行列式
的概念,并在二阶和三阶行列式的基础上,给出n阶行
列式的定义并讨论其性质,进而把n阶行列式应用于解
n元线性方程组.
主要内容
n阶行列式的定义、性质及其计算.
重点内容
行列式的计算.
行列式是一种常用的数学工具,在数学及其他学科
中都有着广泛的应用.
第一节二阶与三阶行列式
二阶行列式
主要内容
三阶行列式
举例
在讨论n阶行列式之前,先简单回顾一下二阶和三
一、二阶行列式
引例1用消元法解二元线性方程组
(1)
阶行列式.
解
用加减消元法,可得
当a11a22–a12a210时,求得方程组(1)的解为
(2)
为了记忆该公式,引入记号
并称之为二阶行列式.
素或元.
第二个下标称为列
标,表示该元素所在的列,常称aij为行列式的(i,j)元
标称为行标,
表示该元素所在的行,
aij的两个下标表示该元素在行列式中的位置,第一个下
其中aij称为行列式的元素,
由二阶行列式的定义,
若记
则当D0时,方程组
注意:D称为系数行列式,Dj是用常数项b1,b2替换D中的第j列(j=1,2).
例1求解线性方程组
可写成二阶行列式,即
有唯一解
式中x1,x2的分子也
二、三阶行列式
引例2用消元法解关于x,y,z三元线性方程组
解
为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入三阶行
列式.
三阶行列式的定义如下:
定义
设有9个数排成3行3列的数表
记
(4)式称为数表(3)所确定的三阶行列式.
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一
条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代数和
就是三阶行列式的展开式.
三阶行列式的展开式也可用如下对角线法则得到: