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高等数学部分易混淆概念
第一章:函数与极限
一、数列极限大小的判断
例1:判断命题是否正确.
若,且序列的极限存在,
解答:,:,,而.
设,且()
答:选项C正确
分析:若,由夹逼定理可得,故不选A与D.
取,则,且,但不存在,所以B选项不正确,因此选C.
()
,但不一定收敛于
,
答:选项A正确.
分析:由于,得,又由及夹逼定理得
因此,,.
二、无界与无穷大
无界:设函数的定义域为,如果存在正数,使得
则称函数在上有界,如果这样的不存在,就成函数在上无界;也就是说如果对于任何正数,总存在,使,那么函数在上无界.
无穷大:设函数在的某一去心邻域内有定义(或大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数(不论它多么大),总存在正数(或正数),只要适合不等式(或),对应的函数值总满足不等式
穷大时极限是否相等。
解:,因而时极限不存在。
,因而时极限不存在。
六、使用等价无穷小求极限时要注意:
(1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换,加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的,故统一不用。这时,一般可以用泰勒公式来求极限。
(2)注意等价无穷小的条件,即在哪一点可以用等价无穷小因子替换
例8:求极限
分析一:若将写成,再用等价无穷小替换就会导致错误。
分析二:用泰勒公式
原式。
例9:求极限
解:本题切忌将用等价代换,导致结果为1。
七、函数连续性的判断
(1)设在间断,在连续,则在间断。而在可能连续。
,,则在间断,在连续,在连续。
若设,在间断,但在均连续。
(2)“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件。
分析:由“若,则”可得“如果,则”,因此,在点连续,则在点连续。再由例10可得,在点连续并不能推出在点连续。
(3)在连续,在连续,则在连续。其余结论均不一定成立。
第二章导数与微分
一、函数可导性与连续性的关系
可导必连续,连续不一定可导。
,在处不可导。
二、与可导性的关系
(1)设,在连续,则在可导是在可导的充要条件。
(2)设,则是在可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论
设,在连续,但不可导,又存在,则是在可导的充要条件。
分析:若,由定义
反之,若存在,则必有。用反证法,假设,则由商的求导法则知在可导,与假设矛盾。
利用上述结论,我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。
四、在某点存在左右导数时原函数的性质
(1)设在处存在左、右导数,若相等则在处可导;若不等,则在连续。
(2)如果在内连续,,且设则在处必可导且。
若没有如果在内连续的条件,即设,则得不到任何结论。
例11.,显然设,但,,因此极限不存在,从而在处不连续不可导。
第三章微分中值定理与导数的应用
一、若
若,不妨设,则,再由微分中值定理
同理,当时,
若,再由微分中值定理
同理可证时,必有
第八章多元函数微分法及其应用
1.,,使得当,且时,有,那么成立了吗?
成立,与原来的极限差异只是描述动点与定点的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域,,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的.
,函数就在连续吗?为什么?
如果条件没有,说明有定义,并且包含在该点的任何邻域内,由此对,都有,从而,因此我们得到,即函数在点连续.
?为什么?
不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.
,求
令,那么解出,得,
所以
或者
,偏导存在,可微之间的关系
偏导数,连续Z可微连续极限存在
偏导数,连续偏导数,存在
.
对于函数,先计算两个偏导数:
又
令,则上式为
因而在原点处可微.
,可微,求.
设,,都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数,证明.
对于方程,,具有连续偏导数且,则由方程可以确定函数,即是,的函数,而,是自变量,此时具有偏导数,
同理,,所以.
,若,则函数在该点取得极值,命题是否正确?
不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.
,且无极大值,那么该函数是否在该点取得最小值?
不一定,对于一元函数来说上述结论是成立的,但对于多元函数,情况较为复杂,一般来说结论不能简单的推广。
例如,二元函数,
由二元函数极值判别法:
,解得,,
,解得
故得驻点,
,,
由于
,,
以及,所以,是函数的惟一极小值点,但是,故不是在D上的最小值.
第十一章无穷级数
,则级数收敛,这种说法是否正确?否
,则原级数必定发散,而加括号后所的级数收敛,则无法判定原级数的敛散性,这种说法是否正确?正确
,则级数一定收敛。判断这句话是否正确?
不正确,如,
,判断级数的敛散性。
收敛因为,由于收敛,收敛,于是收敛。
,绝对收敛不一定收敛。