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北京交通大学微积分期末07-08DN.doc

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北京交通大学微积分期末07-08DN.doc

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2007-2008学年第一学期微积分(B)?期末考试试卷(B卷)答案
北京交通大学
2007-2008学年第一学期微积分,B,?期末考试试卷,B卷,答案
1((本题满分8分)
设函数在点处可导~求极限,,x,xfx0
fx,,x,fx,,x,,,,2300(lim,x,0,x
解:
fx,,x,fx,,x,,,,2300lim,x,0,x
fx,2,x,fxfx,3,x,fx,,,,,,,,0000,2lim,3lim,x,,x,002,x,3,x
,,,(,,,,,,,2fx,2fx,5fx000
2((本题满分8分)
x,2dx求积分(,1,1,x
解:
2x,u,1令,则,(所以有dx,2udu1,x,u
23x,2u,1u,u2,,2dx,2udu,2du,2u,u,2,du,,,,,,1,u1,u1,u1,1,x,,
232,,,u,u,4u,4ln1,u,C3
322,,(,,,1,x,x,4x,1,4ln1,x,1,C3
3((本题满分8分)
2,,,,,xtln1t,dy设函数由参数方程所确定~求(,,y,yx,232dx,,ytt,
解:
2,,,dyyt3t,2t2,,,3t,5t,2(1,,,dxxt1,1,t
2007-2008学年第一学期微积分(B)?期末考试试卷(B卷)答案
ddy,,,,2dyddy6t,56t,51,t,,,,dtdx,,,,(,,,,,,2dx1dxdxdxt,,1,dt1,t
4((本题满分8分)
22,4,x2y,2ln,4,x计算曲线上对应于的一段弧的长度(1,x,2x
解:
2,,xxx1,14,,,,y,2,,,,,,,,222xxxxx2,4,4,4,,,
22,所以,,(,,ds,1,ydx,dx,,x,0x
2222,因此,所求弧长为(,,s,1,ydx,dx,2ln2,,x11
5((本题满分8分)
11ln1,x,,设fx,,fxdx~求(,,,,,,fx,21,xx,10
解:
1
等式两端从到1积分,记,得0,,A,fxdx,0
11dxln1,x,,A,,Adx(,,21,xx,100
11dx,而,arctan,x,,214,x00
11ln,,1,x1122,,,,,,dx,ln1,x,ln2(,x,12200
2,,2,,ln2,,A,,2,,A,,A所以,有,,,即,(A,,ln22,,2442,,4,2ln2,,
1ln1,x,,,,,fx,,,所以,有(221,xx,1,,4,2ln2
6((本题满分8分)
2007-2008学年第一学期微积分(B)?期末考试试卷(B卷)答案
21,,1,在点处的切线与轴的交点为~(求极限设曲线y,,,,,0,,n,1,2,3,?x,,nn25,x,,
limnln,(nn,,
解:
n,12dynxn切线斜率为,,,,kn2n8dx,,5,xx,1x,1
1n所以切线方程为(,,y,,x,128
4y,0令,得的切线与轴的交点的横坐标为,(,,,n,1,2,3,?x,1,nn
4,,ln1,,,4n,,,,于是nn(limln,,limln1,,,4lim,,4,,nn,,n,,n,,4n,,,n
7((本题满分8分)
x2,,24设~求(,,y,ex,1y
解:
,,24,,x242,,,,y,ex,1
242322,,,,,,,,x2x22x2,,,,,,,,,,,,exexCex,,1,24,1,,124
x2x2x,,,ex,1,24e2x,Ce224
x2(,,,ex,48x,551
8((本题满分8分)
x12,,fx,t设~求积分(,,I,dxfx,edt,,x10
解:
1111fx,,,,,,,,,,,Idxfxd2x2xfx2xfxdx,,,,,,,0x000
1111,x,x,x,1(,,2x,edx,,edx,e,e,1,,02x00
9((本题满分9分)
2007-2008学年第一学期微积分(B)?期末考试试卷(B卷)答案
x222,,,,x时~的导数与是等价无穷小~求(设当x,0,,,,,,Fx,x,tftdt,,f0,0
解:
xxx2222,,,,,,(,,,,,,,,,,Fxxtftdtxftdttftdt,,,,,,,000
x22,,,,,,,所以,,,,,,,,,Fx2xftdtxfxxfx,,,,0
x
,,,,,,,,,,,,2xftdt2xfxf0,,,,0
,Fx,,由题意,,得lim,12x,0x
,,,,,Fx2xfx,f0fx,f0,,,,,,,,,,,,,,(,,1,lim,lim,2lim,2f022x,0x,0x,0xxx
1,,f0,所以,(,,2
10((本题满分9分)
2xx,ae设是常数~讨论方程根的个数~并指出每个根所在的范围(a
解:
2,x2,xxe,a将方程改写为,引入函数(,,fx,xe
,x,,,,,limfx,0limfx,,,由于,,,从而有,,,,fx,x2,xex,,,x,,,
x,,,,,,,,,00,22,,,02
,,,,,fx,00
4,,fx0,0,,,,2e于是可得
当a,0时,原方程无根;
当a,0时,原方程有唯一根,;x,01
4当时,原方程有3个根,,,;,,x,2,,,,,,,0,a,x,,,,0x,0,23122e
42当时,原方程有个根,,;a,,,x,,,,0x,2122e
2007-2008学年第一学期微积分(B)?期末考试试卷(B卷)答案
4时,原方程有唯一根,(当a,,,x,,,,012e
11((本题满分9分)
设函数在闭区间上连续~在开区间内可导~且(如果函数在,,,,,,,,,,fx,,0,10,1f0,f1,0fx
,区间上的最大值~证明:存在~使得(M,0,,,,,,0,1,,0,1f,,M
证明:
令,则函数在闭区间上连续,在开区间内可导,而且由题设,,,,,,,,Fx,fx,MxFx,,0,10,1
,知,(,,,,,,f0,f1,0F1,,M,0
由连续函数的最大值定理,以及题设,知存在,使得,所以M,0,,,,x,0,1fx,M00
,,,,,,,Fx,fx,Mx,M1,x,00000
所以由连续函数的零点定理,知存在,使得(,,,,,,x,1,0,1,,F,,00
,再由,由Rolle中值定理,知存在,使得(,,,,,,,,F0,0,,0,,,0,1F,,0
,,,而,所以存在,使得(,,,,,,,,,,Fx,fx,M,,0,,,0,1f,,M
12((本题满分9分)
2设抛物线与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S~其中一条切线于抛物线y,x
22相切于点~(?求的表达式(?为何值时~面积S取最小值(y,x,,a,a,,,,a,0S,Saa
解:
22?抛物线在点处的切线的方程为y,x,,Aa,aL1
22,即(,,y,a,2ax,ay,2ax,a
22再设抛物线在点,,x,x处的切线的方程为y,xL002
22,,y,x,2xx,x,即y,2xx,x(00000
11x2x由于与相互垂直,故有,,,即(,,LL00122a4a
x1y,,,所以切线的方程为(L222a16a
22a,xa,x00设切线与的交点为,则有,y,ax(,,x,yLLx,,1012111,,22a,x0
2007-2008学年第一学期微积分(B)?期末考试试卷(B卷)答案
2与,以及抛物线所围图形的面积为于是直线y,xLL12
xa12222,,,,,,,,,,S,Sa,x,2xx,xdx,x,2ax,adx00,,xx01
xa11222333,,,,,,,,,,,,,x,xdx,x,adx,x,x,a,x,a,x01001,,33xx01
332111,,,,,a,x,a,(,,,,,,032124a,,,,
?以下求函数在区间上的最小值点(,,,,0,,,Sa
21111,,,,,,Saa1,令,得函数在区间上的驻点(,,,,,a,,,,,Sa,0,,0,,,Sa,,,,0244a4a2,,,,
11,,0,a,a,当时,;当时,(,,,,Sa,0Sa,022
11a,所以函数在区间上的最小值点(即当时,面积函数取最小值(a,,,,,0,,,,,SaSa022
附加题一((本题满分10分)
设函数在闭区间上连续~在开区间内二阶可导~则存在~使得,,,,,,fx,,a,ba,b,,a,b
2a,bb,a,,,,,,(,,,,,,fb,2f,fa,f,,,24,,
证明:
2a,xx,,,a,,,,,,,,Fx,fx,2f,fa,,Gx,设,,,,24,,
则与在区间上满足Cauchy中值定理的条件,且,,,,FxGx,,a,b
2a,bb,,,a,,,,,,,,,,,,Fb,fb,2f,faGb,,Ga,,,,,,,Fa,Ga,0,,24,,
因此由Cauchy中值定理,知存在,使得,,,,a,b1
,,,a,a,,,,11,,,,,,f,ff,f,,,,,,,,11,,Fb,FaF,,,,,,22,,,,1(,,,,,a,,a,,,,,,,Gb,GaG,111,,122
2007-2008学年第一学期微积分(B)?期末考试试卷(B卷)答案
,,a,,1,,,,,,a,b上对函数应用Lagrange中值定理,再在区间,,fx1,,2,,
,,a,,1,,,f,,,f,,1,,a,,2,,1,,,,,,,,,a,b,使得(知存在,,,f,,,1,a,2,,1,,12
F,,,,b,Fa,,,,,f,所以,有,,,,,Gb,Ga
2a,bb,a,,,,,,即(,,,,,,fb,2f,fa,f,,,24,,
附加题二((本题满分10分)
2x求积分(,Idxx,x,2,ee0
解:
212xxxI,dx,dx,dx,I,I12x2,xx2,xx2,x,,,e,ee,ee,e001
222,,,x22x22而,,,Idxdxdx2x,xx,xx,x,,,222,,,eeeeee1112,x2对积分作变换u,2,x,得dxx,x,2,ee1
201,,x2uu,,,,,,,,,dxduduI1x2,x2,uu2,uu,,,,,,eeeeee110
22所以,,,,(IIdx21x,x,2,ee1
22xdxedx所以,,,(I22x2,x2x2,,,,eeee11
xxu,edu,edx令,,代入上式,得
22ee22duu,,,I2arctanarctane,,,,(,,22,4u,eeee,,ee