文档介绍：该【考研数学一真题及答案解析】是由【春天的小花】上传分享，文档一共【15】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【考研数学一真题及答案解析】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。2015年全国硕士研究生入学一致考试数学(一)试题
一、选择题:18小题,每题4分,共32分。以下每题给出的四个选项中,只有一个选项吻合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定地址上。
(1)设函数f(x)在,内连续,其中二阶导数f(x)的图形以下列图,
则曲线yf(x)的拐点的个数为
()
(A)0(B)1(C)2(D)3
【答案】(C)
【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,而且在这点的
左右两侧二阶导函数异号。所以,由f(x)的图形可得,曲线yf(x)存在两个
(C).
(2)设y1e2x(x1)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程
23
yaybycex的一个特解,则
()
(A)a3,b2,c1
(B)a3,b2,c1
a3,b2,c1
a3,b2,c1
【答案】(A)
【解析】此题观察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,尔后比较等
式两边的系数可得待估系数值,另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和构造来求解,也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知,1e2x、
1ex为二阶常系数齐次微分方程
y
ay
by
0
的
2
3
解,所以2,1为特色方程r2
arb0的根,从而a(12)
3,b
1
2
2,
从而原方程变为y3y2y
cex,再将特解yxex代入得c
1
.应选(A)
(3)若级数
an条件收敛,则x
3与x
3依次为幂级数
n1
nan(x1)n的()
n1
收敛点,收敛点
收敛点,发散点
发散点,收敛点
发散点,发散点
【答案】(B)
【解析】此题观察幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。
【解析】由于an条件收敛,即x2为幂级数an(x1)n的条件收敛点,所以
n1n1
an(x1)n的收敛半径为1,收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛
n1
区间,故
nan(x1)n的收敛区间还是(0,2)。所以x
3与x
3依次为幂级数
n1
nan(x1)n的收敛点,(B)。
n1
(4)设D是第一象限由曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x围
成的平面地域,函数fx,y在D上连续,则fx,ydxdy
D
()
1
(A)
3
d
1
frcos,rsinrdr
sin2
2sin2
1
(B)
3
d
sin2
1
4
2sin2
1
(C)
3
d
sin2
1
4
2sin2
1

frcos,rsinrdr
frcos,rsindr
(D)
3d
sin2
frcos,rsindr
1
4
2sin2
【答案】(B)
【解析】此题观察将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形,
1
所以f(x,y)dxdy
3d
sin2
1
D
4
2sin2

f(rcos,rsin)rdr,应选(B)
1111
(5)设矩阵A1
2
a,b
d,若会集
1,2,则线性方程组
1
4
a2
d2
Axb有无量
多解的充分必要条件为
()
(A)a,d
(B)a,d
(C)a,d
(D)a,d
【答案】D
1
1
1
1
1
1
1
1
【解析】(A,b)1
2
a
d
0
1
a1
d1
1
4
a2
d2
0
0
(a1)(a2)
(d1)(d2),
由r(A)r(A,b)3,故a1或a2,同时d1或d2。应选(D)
(6)
设二次型f
x1,x2,x3
在正交变换为xPy
下的标准形为
2y12
y22
y32,其中P
e1,e2,e3
,若Q
e1,
e3,e2
,则f
x1,x2,x3在
正
交
变
换
xQy
下
的
标
准
形
为
()
(A)2y12y22y32
(B)2y12y22y32
(C)2y12y22y32
(D)2y12y22y32
【答案】(A)
【解析】由xPy,故fxTAxyT(PTAP)
200
T
PAP010
001.
所以fxTAxyT(QTAQ)y2y12y22y32。选(A)
(7)若A,B为任意两个随机事件,则
()
(A)PABPAPB(B)PABPAPB
(C)
P(A)P(B)
(D)
PAPB
P(AB)
PAB
2
2
【答案】(C)
【解析】由于
AB
A,AB
B,按概率的基本性质,我们有
P(AB)P(A)且
P(AB)
P(B),从而P(AB)
P(A)P(B),选(C).
2
(8)
设随机变量X,Y
不相关,且EX
2,EY1,DX
3,则
EX
X
Y2
(
)
(A)
3
(B)
3
(C)
5
(D)
5
【答案】(D)
【解析】E[X(XY2)]E(X2XY2X)E(X2)E(XY)2E(X)
32221225,选(D).
二、填空题:914小题,每题4分,
...
上.
(9)lim
lncosx
_________.
x
2
x0
1
【答案】
2
【解析】此题观察0型不决式极限,可直接用洛必达法规,也可以用等价无量
0
小代替.
ln(cosx)
sinx
tanx
1
【解析】方法一:lim
lim
cosx
lim
2
.(罗比达法规)
x0
x
x0
2x
x0
2x
2
1x
2
方法二:
ln(cosx)
ln(1
cosx1)
cosx1
2
1
(等价无量
lim
2
lim
2
lim
2
lim
2
x
x
x
x
2
.
x0
x0
x0
x0
小代替)
(10)
(
sinx
2
x)dx________.
2
1
cosx
【答案】

2
π
4
【解析】此题观察定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
sinx
2
【解析】
2
xdx22xdx.
21cosx
0
4
若函数zz(x,y)由方程????+??????+??+????????=2确定,则
dz(0,1)________.
【答案】dx
【解析】此题观察隐函数求导.
【解析】令F(x,y,z)ezxyzxcosx2,则
又当x0,y1时ez1,即z0.
所以
z
Fx(0,1,0)
z
Fy(0,1,0)
,所以
x
(0,1)
Fz(0,1,0)
1,
(0,1)
0
dz(0,1)
dx.
y
Fz(0,1,0)
(12)设是由平面xyz1与三个坐标平面所围成的空间地域,则
(x2y3z)dxdydz__________.
【答案】1
4
【解析】此题观察三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简
后再计算.
【解析】由轮换对称性,得
1
(x2y3z)dxdydz6zdxdydz6zdzdxdy,
0
Dz
其中Dz为平面z
z截空间地域
所得的截面,其面积为
1
(1z)
2
2
0
0
2
1
2
0
2
(13)n阶行列式
___________.
0
0
2
2
0
0
1
2
【答案】2n12
【解析】按第一行张开得
设二维随机变量(x,y)听从正态分布N(1,0;1,1,0),则
P{XYY0}________.
【答案】1
2
【解析】由题设知,X~N(1,1),Y~N(0,1),而且X、Y相互独立,从而
P{X
1}P{Y
0}P{X1}P{Y0}
1
1
1
1
1.
2
2
2
2
2
三、解答题:
15~23
小题,
...
写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(
此题满分
10分)
设函数f
x
xaln(1x)bxsinx,g(x)kx3,若fx
与g
x在x
0
是等价无量小,求a,b,k的值.
【答案】a
1,b
1,k
1.
2
3
【解析】法一:原式
x
aln
1
x
bxsinx
(泰勒张开法)
lim
kx
3
1
x
0
即1
a0,b
a
0,a
1
2
3k
(16)(
此题满分
10分)
设函数f
x
在定义域I
上的导数大于零,若对任意的
x0I,由线y=f
x
在点x0,f
x0
处的切线与直线xx0及x轴所围成地域的面
积恒为4,且f
0
2,求f
x
的表达式.
【答案】f(x)
8
.
4
x
【解析】设fx在点x0,fx0处的切线方程为:yfx0fx0xx0,
令y
f
x0
x0
,
0,获取x
x0
f
故由题意,
1
fx0
x0x4,即
1
f
x0
4
,可以转变为一阶微分方
2
fx0
f
x0
2
程,
即
y2
,????
=
8
2
,两边同时积分可得x
=-
8
+
()
=2
,代入上
y
,将f0
8
????
??
??
??
式可得c=4
8
.
即fx
x
4
(17)(此题满分10分)
已知函数fx,yxyxy,曲线C:x2y2xy3,求fx,y
在曲线C上的最大方导游数.
【答案】3
【解析】由于fx,y沿着梯度的方向的方导游数最大,且最大值为梯度的模.
fx'x,y1y,fy'x,y1x,