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[例2] 方程2x-x2=2x+1的解的个数为______.
[解析] 原方程即2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x,y=x2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点.
[例3] ,,( )
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[分析] 可分别画出y=2x,y=log2x与y=x2的图象用图象来解决,也可以由幂、指、对函数值的分布规律解决.
[解析] 如图,
在同一坐标系中作出函数y=2x,y=x2及y=log2x的图象.
观察图象知当x=,<<.
[例4] 方程log3x+x=3的解所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
[解析] 直接解方程是无法实现的,而借助于数形结合思想作出图象,则问题易于解决.
设y1=log3x,y2=-x+3,
在同一坐标系中画出它们的图象(如下图)观察可排除A,(1,3)内.
又x=2时,y1=log32<1,
而y2=-x+3=1,且知y1是增函数,y2是减函数,所以交点P的横坐标应在(2,3)内,∴选C.
[例5] 设x∈(0,1)时,函数y=xp的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是________.
[解析] (1)当p>0时,根据题意p<1,∴0<p<1.
(2)当p=0时,函数为y=1(x≠0),符合题意.
(3)当p<0时,在(0,+∞)上过(1,1)点,函数为减函数,符合题意.
综上所述,p的取值范围是(-∞,1).
[例6] 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的大致图象是
( )
[答案]C
[解析] f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有C符合,故选C.
[例2] 比较a2x2+1与ax2+2(a>0,a≠1)的大小.
[解析] (1)当a>1时,
①若2x2+1>x2+2,即x>1或x<-1,则a2x2+1>ax2+2;
②若2x2+1=x2+2,即x=±1,则a2x2+1=ax2+2;
③若2x2+1<x2+2,即-1<x<1,则a2x2+1<ax2+2.