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一、考点回顾
,认识照射的见解.
,掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
,会求一些简单函数的反
函数.
,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的见解、图象和
性质.
,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的见解、图象和性质.
、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实责问题.
二、经典例题剖析
考点一:函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石,
义的深入理解上下功夫.
复****函数的性质,能够从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入
手,在判断和证明函数的性质的问题中得以牢固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及
:
,能正确判断函数的奇偶性,以及函数在某一
区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.
,深入对函数性质几何特色的理解和
运用,概括总结求函数最大值和最小值的常用方法.
,提高学生用换元、转变、数形结合等数学思
想方法解决问题的能力.
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解.
=f(x)在给定区间上的单调性,反
映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不用然是函数在定义
,因此要碰到区间的限制.
对函数奇偶性定义的理解,不能够只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,
要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关
,可得函数f(x)的图象关于直线x
a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x).
,调动相关知识,选
择合适的方法解决问题,是对学生能力的较高要求.
函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质能够经过函数的图像直观地表现出来。
因此,掌握函数的图像是学好函数性质的重点,这也正是“数形结合思想”的表现。复****函
数图像要注意以下方面。
——描点法和图象变换法.
,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题.
、分类谈论的思想和转变变换的思想剖析解决数学问题.
,进一步培养观察、剖析、概括、概括和综合剖析能力.
以剖析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本节的重点.
运用描点法作图象应防备描点前的盲目性,
处,、大概特色、、方程、不等式等理论和手段,,.
例1设a>0,求函数
f(x)
xln(x
a)(x∈(0,+∞))的单调区间.
剖析:欲求函数的单调区间,则须解不等式
f(x)0(递加)及f(x)0(递减)。
1
1
(x
0).
解:f(x)
xa
2x
当a>0,x>0时
f(x)>0x2+(2a-4)x+a2>0,
f(x)<0x2+(2a-4)x+a2<0.
(ⅰ)当a>1时,对所有x>0,有
x2+(2a-4)x+a2>0,
即f(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递加.
(ⅱ)当a=1时,对x≠1,有
x2+(2a-4)x+a2>0,
即f(x)>0,此时f(x)在(0,1)内单调递加,在(1,+∞)内单调递加.
又知函数f(x)在x=1处连续,因此,函数f(x)在(0,+∞)内单调递加.
(ⅲ)当0<a<1时,令f(x)>0,即
x2+(2a-4)x+a2>0,
解得x2a21
a,或x2a21a.
因此,函数f(x)在区间(0,2
a21a)内单调递加,在区间(2
a21a,
)
内也单调递加.
令f(x)<0,即x2+(2a-4)x+a2<0,
解得
2a21ax2a21a.
因此,函数f(x)在区间(2a21a,2a21a)内单调递减.
谈论:本小题主要观察导数的见解和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算
能力.
例2
已知a
0,函数f(x)
1ax,x(0,
)。设0x1
2
,记曲线y
f(x)在
x
a
点M(x1,f(x1))处的切线为l。
(Ⅰ)求l的方程;
(Ⅱ)设l与x轴交点为(x2,0)。证明:
①0x2
1
;
1
a
1
,则x1
②若x1
x2
a
a
(Ⅰ)剖析:欲求切线l的方程,则须求出它的斜率,依照切线斜率的几何意义便不难发现,
问题概括为求曲线yf(x)在点M(x1,f(x1))的一阶导数值。
解:求f(x)的导数:
'
(x)
1
l的方程:
f
x
2,由此得切线
1
ax1
)
1
(x
x1)。
y(
x1
x
2
(Ⅱ)剖析:①要求
x2的变化范围,则须找到使
x2产生变化的原因,显然,
x2变化的根本
原因可概括为
x1的变化,因此,找到x2与x1的等量关系式,就成;②
欲比较x2与x1的大
小关系,判断它们的差的符号即可。
证:依题意,切线方程中令
y=0,
x2x1(1
ax1)
x1x1(2
ax1),其中0
x1
2
.
2,x2
a
1)2
1
①由0x1
x1(2ax1),有x2
0,及x2
a(x1
1
a
1
1
a
a
〈0x2
,当且仅当x1
时,x2
.
a
a
a
②当x1
1时,ax1
1,因此,x2
x1(2
ax1)
x1,且由①,x2
1
a
a
因此x1
x2
1
。
a
谈论:本小题主要观察利用导数求曲线切线的方法,观察不等式的基本性质,以及剖析和解决问题的能力。
例3、函数y=1-1的图象是()
x1
剖析一:该题观察对f(x)=
1
1
的图形
图象以及对坐标平移公式的理解,将函数
y=
x
x
1
,即向右平移一个单位,再变形到
y=-
1
x轴翻转,
变形到y=
立刻前面图形沿
x
1
x
1
再变形到y=-
1+1,从而获取答案B.
x1
剖析二:可利用特别值法,取
x=0,此时y=1,取x=2,此时y=.
答案:B
谈论:1、选择题要注意利用特值消除法、估值消除法等。
、办理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为:先判断出函数的标准模型,并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二:二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又拥有丰富的内涵和外延
.
作为最基本
的初等函数,能够以它为素材来研究函数的单调性、
奇偶性、最值等性质,还可成立起函数、
方程、不等式之间的有机联系;作为抛物线,能够联系其他平面曲线谈论相互之间关系
.
这
些纵横联系,使得围绕二次函数能够编制出层见迭出、灵便多变的数学问题
.
同时,相关二
次函数的内容又与近、现代数学发展亲近联系,
此,从这个意义上说,相关二次函数的问题在高考中频频出现,也就不足为奇了.
学****二次函数,能够从两个方面下手:一是剖析式,,可
以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反响出一个人的基本数学涵养;从图像
特色出发,能够实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种特别重要的思想方法.
例4
设二次函数f
x
ax2
bx
ca
0
,方程fxx
0的两个根x1,x2满足
0
x1
x2
1
.当x
0,x1
时,证明x
fx
x1.
a
剖析:在已知方程
f
x
x
0两根的情况下,依照函数与方程根的关系,能够写出函
数f
x
x的表达式,从而获取函数
f(x)的表达式.
证明:由题意可知
f(x)
x
a(x
x1)(x
x2).
0
x
x1
x2
1
,
a
∴
a(xx1)(xx2)0,
∴
当x
0x
时,
f(x)
x
.
,1
又f(x)
x1
a(xx1)(xx2)
x
x1
(xx1)(axax2
1),
x
x1
0,
且ax
ax2
1
1
ax2
0,
∴
f(x)
x1,
综上可知,所给问题获证.
谈论:本题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式
yaxx1xx2.。
例5已知二次函数
f(x)
ax2
bx1(a,bR,a
0),设方程f(x)
x的两个实
数根为x1和x2.
(1)若是x1
2
x2
4,设函数f(x)的对称轴为x
x0,求证:x0
1;
(2)若是x1
2,x2
x1
2
,求b的取值范围.
剖析:条件x1
2
x2
4实质上给出了f(x)x的两个实数根所在的区间,因此可
以考虑利用上述图像特色去等价转变.
解:设g(x)f(x)xax2(b1)x1,则g(x)0的二根为x1和x2.
(1)由a
0及x12
x2
4,可得
g(2)
0
4a
2b
1
0
g(4)
,即
16a
4b
3
,即
0
0
3
3
b
3
0,
2a
4a
42
b
3
2a
4a
两式相加得
b
1,因此,x0
1;
2a
(b1)2
4,可得
(2)由(x1
x2)2
a
a
1
0,因此x1,x2同号.
又x1x2
a
∴x12,x2
0
x1
x12等价于
1
2a
0,
2a1(b1)21.
2x2
或
x2
2
x10
,
(b1)2
(b1)2
1
2a1
1
g(2)
0
g(
2)
0
即
g(0)
0
或g(0)
0
2a
1
(b1)2
12a
1
(b1)2
1
解之得
b
1
7
或b.
4
4
谈论:在办理一元二次方程根的问题时,观察该方程所对应的二次函数图像特色的充要
条件是解决问题的重点。
考点三:抽象函数
抽象函数是指没有给出详尽的函数剖析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件
的函数,如函数的定义域,剖析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函
数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个连结点,由于抽象函数没有详尽的剖析表
达式作为载体,,又能观察学生的思想能力,因此备受命题者的喜欢,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可
以利用特别模型法,函数性质法,特别化方法,联想类比转变法,等多种方法从多角度,多层面去剖析研究抽象函数问题,
(一)函数性质法
函数的特色是经过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特别点等)反响出来的,抽象函数也是这样,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵便进行等价转变,抽象函数问题
才能转变,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思虑;2,利用单调性等价转变;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特别点,布列方程等.
(二)特别化方法
1、在求解函数剖析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x等
、在求函数值时,可用特别值代入
、研究抽象函数的详尽模型,用详尽模型解选择题,填空题,或由详尽模型函数对综合题,的解答供应思路和方法.
总之,抽象函数问题求解,用老例方法一般很难凑效,但我们若是能经过对题目的信息剖析与研究,采用特其他方法和手段求解,经常会收到事半功倍之功能,真有些山穷水复疑无路,峰回路转又一村的快感.
例6、设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对任意的x,y∈(0,+∞),都有
f(xy)=f(x)+f(y)。
(1)求证:当x∈(1,+∞)时,f(x)>0;且f(x)=f(x)-f(y).
y
(2)若f(2)=1,解不等式f(x+2)-f(2x)>2.
剖析:由f(xy)=f(x)+(y),不难想到f(x)应为对数函数形式,因此f(1)=0,由题意条件,
f(x)为增函数,据此不难求解。
解:(1)令x=y=1,则由f(xy)=f(x)+f(y)得f(1×1)=f(1)+f(1).
即f(1)=2f(1),f(1)=0,又由于函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,因此对任意x∈(1,
+∞),有f(x)>f(1)=0,故f(x)>0.
设x,y∈(0,+∞),则有∈(0,+∞),于是f(x)=f(xy)=f(x)+
yy
f(y),即f(x)=f(x)-f(y).
y
2)由于f(2)=1,因此f=f(2)+f(2)=f(2×2)=f(4),由f(x+2)-f(2x)>2,f(x+2)>
f(2x)+f(4),f(x+2)>f(8x),又由于函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,因此x+2>8x,因x∈(0,+∞)
因此
0<x<
2
.
7
考点四:函数的综合应用
函数的综合运用主若是指运用函数的知识、
界中量的依存关系,是对问题自己的数量实质特色和限制关系的一种刻画,用联系和变化的
见解提出数学对象,抽象其数学特色,,运动变化、相互联系、相互制
约是函数思想的精髓,掌握相关函数知识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法
研究函数的能力,成立运用函数思想解决相关数学问题的意识是运用函数思想的重点.
例7设函数f(x)tx2
2t2x
t
1(x
R,t
0).
(Ⅰ)求f(x)的最小值h(t);
(Ⅱ)若h(t)
2t
m对t
(0,2)
恒成立,求实数
m的取值范围.
解:(Ⅰ)Qf(x)t(x
t)2
t3
t1(x
R,t0)
,
当x
t时,f(x)取最小值f(
t)
t3
t
1
,
即h(t)
t3
t
1.
(Ⅱ)令g(t)
h(t)
(2t
m)
t3
3t
1
m,
由g(t)
3t2
3
0得t
1,t
1(不合题意,舍去).
当t变化时g
(t),g(t)的变化情况以下表:
t
(0,1)
1
(1,2)
g(t)
+
0
-
g(t)
极大值
递加
递减
1-m
g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.
h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立,
即等价于1m0,
因此m的取值范围为m1.
谈论:本题主要观察函数的单调性、极值以及函数导数的应用,观察运用数学知识剖析
问题解决问题的能力.
例8甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得高出c千米/时,
已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v
(千米/时)的平方成正比,比率系数为b;固定部分为a元.
①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;
②为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
剖析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关系,抽象出其中的函数关系,
并求函数的最小值.
解:(读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间,
(建模)有y=(a+bv2)S
v
(解题)因此全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数关系式是:
y=S(a+bv),其中函数的定义域是v∈(0,c].
v
a
整理函数有y=S(a+bv)=S(v+b),
vv
由函数y=x+k
(k>0)的单调性而得:
x
a
<c时,则v=
a
当
时,y取最小值;
b
b
a
≥c时,则v=c时,y取最小值.
当
b
综上所述,为使全程成本
a
<c时,行驶速度应为
v=
a
a
y最小,当
;当
≥c时,
b
b
b
行驶速度应为v=c.
谈论:,能够经过成立目标函数,尔后运用解(证)不等式的方法
求出函数的最大值或最小值,其中要特别注意蕴涵的限制关系,这样题中速度v的范围,一
旦忽视,,也可属于不等式模型.
方法总结与2008年高考展望
(一)思想方法总结
数形结合
分类谈论
函数与方程
(二)2008年高考展望
,从试题上看,抽象函数和详尽函数都有,有向抽
象函数发展的趋势,其他试题侧重对转变思想的观察,且都综合地观察单调性与奇偶性.
,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移变换、
伸缩变换、对称变换,注意函数的对称性、函数值的变化趋势,培养运用数形结合思想来解
题的能力.
,大多是求函数的剖析式,定义域、值域或函数图象等,一
般不需求出反函数,只需将问题转变成与原函数相关的问题即可解决.
,大多以基本函
数的性质为依赖,结合运算推理来解决.
5加强函数思想、,引进变量成立函数,
运用变化的方法、见解解决数学试题以提高数学意识,发展能力.
6注意与导数结合观察函数的性质.
一、加强训练
(一)选择题
=2
-x+1(x>0)的反函数是(
)
=log2
1
,x∈(1,2)
=-1og2
1
,x∈(1,2)
x
1
x
1
=log2
1
,x∈(1,2]
=-1og2
1
,x∈(1,2]
x1x1