文档介绍：分离变量法计算与电磁场数值计算方法的应用研究
——电磁场与电磁波研究型论文
姓名: 姜梦磊
班级:思源1301
学号:13274011
指导教师:王国栋
摘要
本文阐述了静态电磁场边值问题的一种求解方法一有限差分法的基本原理。通过该原理进行MATLAB编程计算电磁场电位问题,通过具体实例利用MATLAB编写程序将这种求解方法的结果可视化处理。以分离变量法的计算结果作为准确的解析解,分析有限差分法的近似计算误差,通过误差分析显示有限差分算法的精确程度。
Abstract
In this paper, the basic principle of a finite difference method for solving the boundary value problem of static ic field is presented.. Through this principle, the problem of ic field potential is calculated by MATLAB programming. The convergence factor of different acceleration is selected pare the iteration number of essive super relaxation method, and then select the optimal accelerating convergence factor.. The result of this method is visualized by using MATLAB program.. The accuracy of finite difference method is analyzed by error analysis, and the accuracy of finite difference method is demonstrated by error analysis..
一、引言
通过边值条件求解坐标系内的静态电场分布,是电磁场当中的常见问题之一。
求解方法一般为泊松方程或拉普拉斯方程,对于满足下列条件之一的边界面S,则电位函数在该区域中除了任意常数外是唯一确定的:
1、在全部S上电位已知;
2、在全部S上电位的法向导数已知;
3、在一部分S上电位函数已知,在其余S上电位的法向导数已知。
利用唯一性定理求解边值问题,分为解析法和数值法两大类,常用的解析法有分离变量法、镜像法、复变函数法、保角变换法、格林函数法等,通常可以得到解析函数表示的闭合解,适于求解各种形状规则的边界下的电位函数。解析法的优点是:
1、可用一数学公式将所求问题表示出来,从而得到对该问题的精确描述;
2、根据所得的公式,可以对该问题进行深入的分析研究,找到该问题中各参数之间的内在联系和变化趋势;
3、可作为近似计算和数值解的检验标准。解析法的缺点是具有一定的局限性,不是每一个电磁问题都能找到与其匹配的解答公式。
随着大型快速计算机的广泛应用,近似解析计算和数值法的发展迅速。目前,分析电磁工程常用的数值法有矩量法、有限元法和有限差分法。还有解析和近似计算结合的一些近似解析算法,如逐步逼近算法、微扰法、变分法、几何光学法、物理光学法、几何绕射方法和物理绕射方法等。数值法的主要缺点是不能用一数学公式将所研究的电磁问题和各参数之间的内在关系及变化趋势表示出来。
算法介绍
、解析法
利用解析法求解静态场边值问题主要是解决已知场量在场域边界上的值,求场域内场的分布。一般是从MaxWell方程出发,结合具体实例根据边界条件求解出标量函数位函数来表示场的分布。其他场量可以通过位函数再进一步求出。其结果是一个解析表达式,而且往往是一个复杂的级数表达式。不能形象的体现场的分布。但是,得出的结果描述了场域中每一点的值是连续,即:能够精确的表示场域中任何一点的场量。所以也叫精确解。为了形象地表达场的分布,我们将位函数的自变量离散化带入位函数表达式,求出位函数的离散值;通过MATLAB绘图画出等位线。
、有限差分法
有限差分法(FDM),是一种微分方程数值方法,是通过有限差分来近似导数,从而寻求微分方程的近似解。
由泰勒展开式可得有限差分法的基本形式。首先假设要近似函数的各级导数都有良好的性质,依照泰勒定理,可以形成以下的泰勒展开式:
其中n!表示是n的阶乘,Rn(x)为余数,表示泰勒多项式和原函数之间的差。可以推导函数f一阶导数的近似值:
设定x0=a,可得:
除以h可得:
求解f'(a):
假设相当小,因此可以将"f"的一阶导数近似为:
局部截尾误差为