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当△<0时,一元二次方程没有实数根ﻫ2、平行四边形的性质:ﻫ① 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫她的对角线。
③平行四边形的对边÷对角相等。
④平行四边形的对角线互相平分。ﻫ菱形:①一组邻边相等的平行四边形是菱形ﻫ②领心的四条边相等,两条对角线互相垂直平分,每一组对角线平分一组对角。
③鉴定条件:定义÷对角线互相垂直的平行四边形÷四条边都相等的四边形。
矩形与正方形:
①有一种内角是直角的平行四边形叫做矩形。
② 矩形的对角线相等,四个角都是直角。ﻫ③对角线相等的平行四边形是矩形。ﻫ④正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质。ﻫ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。
多边形:
①N边形的内角和等于(N-2)÷180度ﻫ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所构成的角叫做这个多边形的外角,在每个顶点处取这个多边形的一种外角,她们的和叫做这个多边形的内角和(都等于360度)
平均数:对于N个数X1,X2…XN,我们把(X1+X2+…+XN)÷N叫做这个N个数的算术平均数,记为Xﻫ加权平均数:一组数据里各个数据的重要限度未必相似,因而,在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一种权,这就是加权平均数。
二、基本定理ﻫ1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短 ﻫ3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短ﻫ7、平行公理通过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9、同位角相等,两直线平行ﻫ10、内错角相等,两直线平行ﻫ11、同旁内角互补,两直线平行
12、两直线平行,同位角相等ﻫ13、两直线平行,内错角相等ﻫ14、两直线平行,同旁内角互补ﻫ15、定理 三角形两边的和不小于第三边
16、推论 三角形两边的差不不小于第三边ﻫ17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18、推论1直角三角形的两个锐角互余
19、推论2三角形的一种外角等于和它不相邻的两个内角的和ﻫ20、推论3三角形的一种外角不小于任何一种和它不相邻的内角
21、全等三角形的相应边、相应角相等ﻫ22、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角相应相等的两个三角形全等
23、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边相应相等的 两个三角形全等ﻫ24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边相应相等的两个三角形全等ﻫ25、边边边公理(SSS)有三边相应相等的两个三角形全等ﻫ26、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边相应相等的两个直角三角形全等 ﻫ27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ﻫ28、定理2 到一种角的两边的距离相似的点,在这个角的平分线上ﻫ29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)
31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重叠
33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一种角都等于60°
34、等腰三角形的鉴定定理 如果一种三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)ﻫ35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 ﻫ36、推论2有一种角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中,如果一种锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ﻫ40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1有关某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理2如果两个图形有关某直线对称,那么对称轴是相应点连线的垂直平分线
44、定理3两个图形有关某直线对称,如果它们的相应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上ﻫ45、逆定理 如果两个图形的相应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形有关这条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a²+b²=c²ﻫ47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°ﻫ49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°ﻫ51、推论任意多边的外角和等于360°ﻫ52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等ﻫ53、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分ﻫ56、平行四边形鉴定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形ﻫ57、平行四边形鉴定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58、平行四边形鉴定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形ﻫ59、平行四边形鉴定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形ﻫ60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
61、矩形性质定理2矩形的对角线相等
62、矩形鉴定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
63、矩形鉴定定理2对角线相等的平行四边形是矩形ﻫ64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66、菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2ﻫ67、菱形鉴定定理1四边都相等的四边形是菱形
68、菱形鉴定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形ﻫ69、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
71、定理1有关中心对称的两个图形是全等的ﻫ72、定理2有关中心对称的两个图形,对称点连线都通过对称中心,并且被对称中心平分
73、逆定理如果两个图形的相应点连线都通过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形有关这一点对称ﻫ74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 ﻫ75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形鉴定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其她直线上截得的线段也相等
79、推论1 通过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80、推论2通过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边ﻫ81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h
83、(1)比例的基本性质:ﻫ如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc ,那么a:b=c:dﻫ84、(2)合比性质:ﻫ如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d ﻫ85、(3)等比性质:
如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),
那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b ﻫ86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的相应线段成比例
87、推论平行于三角形一边的直线截其她两边(或两边的延长线),所得的相应线段成比例ﻫ88、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边,并且和其她两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边相应成比例ﻫ90、定理 平行于三角形一边的直线和其她两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
91、相似三角形鉴定定理1 两角相应相等,两三角形相似(ASA)ﻫ92、直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形和原三角形相似ﻫ93、鉴定定理2两边相应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)ﻫ94、鉴定定理3三边相应成比例,两三角形相似(SSS)
95、定理如果一种直角三角形的斜边和一条直角边与另一种直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例,那么这两个直角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形相应高的比,相应中线的比与相应角平分线的比都等于相似比ﻫ97、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比 ﻫ98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101、圆是定点的距离等于定长的点的集合
102、圆的内部可以看作是圆心的距离不不小于半径的点的集合ﻫ103、圆的外部可以看作是圆心的距离不小于半径的点的集合ﻫ104、同圆或等圆的半径相等ﻫ105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线ﻫ107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 ﻫ108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线ﻫ109、定理不在同始终线上的三点拟定一种圆。ﻫ110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧ﻫ111、推论1
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线通过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112、推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等
113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 ﻫ114、定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 ﻫ115、推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所相应的其他各组量都相等ﻫ116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
ﻫ117、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等ﻫ118、推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
120、定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一种外角都等于它的内对角
121、①直线L和⊙O相交d﹤rﻫ②直线L和⊙O相切d=r
③直线L和⊙O相离d﹥rﻫ122、切线的鉴定定理 通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123、切线的性质定理圆的切线垂直于通过切点的半径
124、推论1通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点
125、推论2通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心 ﻫ126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等
128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角ﻫ129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130、相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点提成的两条线段长的积相等 ﻫ131、推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项ﻫ133、推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135、①两圆外离 d﹥R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)ﻫ④两圆内切 d=R-r(R﹥r)ﻫ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r) ﻫ136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137、定理把圆提成n(n≥3): ﻫ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵通过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138、定理 任何正多边形均有一种外接圆和一种内切圆,这两个圆是同心圆ﻫ139、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/nﻫ140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形提成2n个全等的直角三角形
141、正n边形的面积Sn=pnrn/2p表达正n边形的周长ﻫ142、正三角形面积√3a/4a表达边长
143、如果在一种顶点周边有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144、弧长计算公式:L=n兀R/180
145、扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长=d-(R+r)ﻫ三、常用数学公式
公式分类公式体现式
乘法与因式分解
a²-b²=(a+b)(a-b)ﻫa³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)ﻫa³-b³=(a-b(a²+ab+b²)ﻫ一元二次方程的解 -b+√(b²-4ac)÷2a
-b-√(b²-4ac)÷2a
根与系数的关系X1+X2=-b÷a
X1×X2=c÷a 注:韦达定理
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)÷2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n²
2+4+6+8+10+12+14…+(2n)=n(n+1)
1²+2²+3²+4²+5²+²6+7²+8²+…+n²=n(n+1)(2n+1)÷6ﻫ1³+2³+3³+4³+5³+6³+…n=³n²(n+1)²÷4
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)÷3
正弦定理a÷sinA=b÷sinB=c÷sinC=2R
注:其中R表达三角形的外接圆半径
余弦定理 b²=a²+c²-2ac·cosBﻫ注:角B是边a和边c的夹角ﻫ作辅助线的措施ﻫ一:中点、中位线,延线,平行线。
如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或导致全等的目的。ﻫ二:垂线、分角线,翻转全等连。
如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的措施,并借助其她条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。ﻫ三:边边若相等,旋转做实验。ﻫ如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。ﻫ四:造角、平、相似,和差积商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种措施:第一,造一种辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)ﻫ五:两圆若相交,连心公共弦。ﻫ如果条件中浮现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六:两圆相切、离,连心,公切线。ﻫ如条件中浮现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。
七:切线连直径,直角与半圆。ﻫ如果条件中浮现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使浮现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。ﻫ如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。ﻫ八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。
如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。
如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。ﻫ如遇平行弦,则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。
有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
九:面积找底高,多边变三边。ﻫ如遇求面积,(在条件和结论中浮现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的核心。
如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。
此外,国内明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”。