坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳.docx

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þ知识总结
一、平面直角坐标系

(1)数轴:规定了原点,.
(2)平面直角坐标系:
①定义:在同一种平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系;
②数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向;
③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或y轴统称为坐标轴;
④坐标原点:它们的公共原点称为直角坐标系的原点;
⑤相应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对(x,y)之间可以建立一一相应关系.
距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:
两点间的距离公式
中点P的坐标公式
|P1P2|=

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,
y)相应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
二、极坐标系
:在平面内取一种定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向),这样就建立了一种极坐标系.
:
(1)极坐标的定义:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的相应关系:在极坐标系中,极点O的极坐标是(0,θ),(θ∈R),若点M的极坐标是M(ρ,θ),则点M的极坐标也可写成M(ρ,θ+2kπ),(k∈Z).
若规定ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ,θ)之间才是一一相应关系.

把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相似,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ).
(1)极坐标化直角坐标 ;(2)直角坐标化极坐标
三、简朴曲线的极坐标方程

一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一种满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程
f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.

(1)特殊情形如下表:
圆心位置
极坐标方程
图 形
圆心在极点(0,0)
ρ=r
(0≤θ<2π)
圆心在点(r,0)
ρ=2rcos_θ
(-≤θ<)
圆心在点(r,)
ρ=2rsin_θ
(0≤θ<π)
圆心在点(r,π)
ρ=-2rcos_θ
(≤θ<)
圆心在点(r,)
ρ=-2rsin_θ
(-π<θ≤0)

(2)一般情形:设圆心C(ρ0,θ0),半径为r,M(ρ,θ)为圆上任意一点,则|CM|=r,
∠COM=|θ-θ0|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0即

(1)特殊情形如下表:
直线位置
极坐标方程
图 形
过极点,倾斜角为α
(1)θ=α(ρ∈R)或θ=α+(ρ∈R)
(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)
过点(a,0),且与极轴垂直
ρcos_θ=a
过点,且与极轴平行
ρsin_θ=a
(0<θ<π)
过点(a,0)倾斜角为α
ρsin(α-θ)=asinα
(0<θ<π)
(2)一般情形,设直线l过点P(ρ0,θ0),倾斜角为α,M(ρ,θ)为直线l上的动点,则在△OPM中运用正弦定理可得直线l的极坐标方程为 ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).
四、曲线的参数方程

(1)定义:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数:①,并且对于t的每一种容许值,由方程组①所拟定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,,直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.
(2)参数的意义:参数是联系变数x,y的桥梁,可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.

(1)区别:一般方程F(x,y)=0,直接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系,它具有x,y两个变量;参数方程(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系,它具有三个变量t,x,y,其中x和y都是参数t的函数.
(2)联系:一般方程中自变量有一种,并且给定其中任意一种变量的值,可以拟定另一种变量的值;参数方程中自变量也只有一种,并且给定参数t的一种值,就可以求出唯一相应的x,y的值.
这两种方程之间可以进行互化,通过消去参数可以把参数方程化为一般方程,而通过引入参数,也可把一般方程化为参数方程.

(1)圆心在坐标原点,半径为r的圆的参数方程
如图圆O与x轴正半轴交点M0(r,0).
(1)设M(x,y)为圆O上任一点,以OM为终边的角设为θ,则以θ为参数的圆O的参数方程是(θ为参数).
其中参数θ的几何意义是OM0绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度.
(2)设动点M在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动,角速度为ω,则
OM0通过时间t转过的角θ=ωt,则以t为参数的圆O的参数方程为(t为参数).
其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间.
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程
圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程可以当作将圆心在原点,半径为r的圆通过坐标平移得到,因此其参数方程为(θ为参数).

曲线的参数方程和一般方程的互化
(1)曲线的参数方程和一般方程是在同一平面直角坐标系中表达曲线的方程的两种不同形式,两种方程是等价的可以互相转化.
(2)将曲线的参数方程化为一般方程,.
(3)一般方程化参数方程,一方面拟定变数x,y中的一种与参数t的关系,例如x=f(t),另一方面将x=f(t)代入一般方程解出y=g(t),则(t为参数)就是曲线的参数方程.
(4)在参数方程与一般方程的互化中,必须使x,y的取值范畴保持一致.
五、圆锥曲线的参数方程

(1)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是(φ是参数),规定参数φ的取值范畴是[0,2π).
(2)中心在原点,焦点在y轴上的椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是(φ是参数),规定参数φ的取值范畴是[0,2π).
(3)中心在(h,k)的椭圆一般方程为+=1,则其参数方程为(φ是参数).

(1)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线-=1的参数方程是(φ为参数),规定参数φ的取值范畴为φ∈[0,2π)且φ≠,φ≠.
(2)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线-=1的参数方程是(φ为参数).

(1)抛物线y2=2px的参数方程为(t为参数).
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
六、直线的参数方程

通过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).

(1)参数t的绝对值表达参数t所相应的点M到定点M0的距离.
(2)当与e(直线的单位方向向量)同向时,,t取负数,当M与M0重叠时,t=0.

对于同一条直线的一般方程,选用的参数不同,(x0,y0),倾斜角为α的直线,选用参数t=M0M得到的参数方程(t为参数)称为直线参数方程的原则形式,此时的参数t有明确的几何意义.
一般地,过点M0(x0,y0),斜率k=(a,b为常数)的直线,参数方程为(t为参数),称为直线参数方程的一般形式,此时的参数
t不具有原则式中参数的几何意义.
þ题型归纳
题型一:极坐标与直角坐标的互化。互化原理(三角函数定义)、数形结合。
,直线的参数方程为(为参数),觉得极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并在两种坐标系中取相似的长度单位,曲线的极坐标方程为.
(1)把曲线的极坐标方程化为一般方程;
(2)求直线与曲线的交点的极坐标().
试题解析:(1)由得,两边同乘以,得;
(2)由直线的参数方程为(为参数),得直线的一般方程为,联立曲线与直线的方程得,或,化为极坐标为或.
考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线参数方程与一般方程的互化.
考点:,.
,设圆通过点,圆心是直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.
试题解析:
法一:转化为直角坐标为:
直线的直角坐标方程为:
它与轴的交点也就是圆心为因此
因此圆的方程为,得
因此,圆的极坐标方程为:
法二:由于圆心为直线与极轴的交点,因此令,得,即圆心是
又圆通过点,圆的半径,
圆过原点,圆的极坐标方程是.
考点:(1)转化为直角坐标,求出所求方程,再转化为极坐标;
(2)先求圆心坐标,再运用余弦定理求半径,最后借助过原点写出圆的极坐标方程.
题型二:曲线(圆与椭圆)的参数方程。
(1)一般方程互化和最值问题。“1”的代换()、三角解决。
,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标分别为.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设为曲线上的点,求点到直线距离的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)将、化为直角坐标为,
即,,
∴直线的方程为,即.
(Ⅱ)设,它到直线的距离为
,
(其中),
∴.
考点:;;.
,直线的参数方程是(为参数).设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.
试题解析:曲线的极坐标方程可化为.
又,
因此曲线的直角坐标方程为.
将直线的参数方程化为直角坐标方程,得,
令,得,即点的坐标为(2,0).
又曲线的圆心坐标为(1,0),
半径,则, 因此.
法二:设N的坐标为.
因此