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奉新一中2020届高三上学期第二次月考文科数学试卷
命题人:
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有
一项为哪一项吻合题目要求的.
,则()
.
,z2i,此中i为虚数单位,则z1的虚部为()
z2
《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金
以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到
者,亦挨次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低
的九等人所得黄金()
33
(4,2)作圆x2y24的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则△OAB的外
接圆方程为()
A.(x2)2(y1)25B.(x4)2(y2)220
C.(x2)2(y1)25D.(x4)2(y2)220
:
①命题“若x2
3x
2
0,则x
1”的逆否命题为“若x
1,则x2
3x20”;
②“x
2”是“x2
3x
2
0”的充分不用要条件;
③若p
q为假命题,则
p,q均为假命题;
④关于命题p:
xR,使得x2
x
1
0,则p为:x
R,均有x2
x1
0.
此中,真命题的个数是
(
)
.2个
C
.3个
D
.4个
设四边形ABCD为平行四边形,AB6,,N满足
BM3MC,DN2NC,则AMNM()
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江西省奉新县第一中学2020届高三上学期第二次月考数学(文)试题和答案
,网格纸上小正方形的边长为
1,粗线画出的是某几何
体的三视图,则该几何体的体积为(
)
A
36
2
B
36
4
C
48
2
D
48
4
(x,y)的坐标满足
1
x1,则点P的轨迹图象大体是(
)
ln
y
.
,点在线段上运动,则以下命题错误的选项是()
10.
已知函数f(x)
2sin(x
)acosx(a
0,
0)对任意x1,x2R
都有
6
f(x1)
f(x2)
4
3,若f(x)在[0,
]上的值域为[3,23],则实数
的取值范围为()
A.
1,1
B.
1
,2
C.
1,
D.
1,1
6
3
3
3
6
2
x
3sin2xcos2x的图象向左平移
tt
0个单位后,获取函数g
x的
图象,若g
x
g
12
x
,则实数t的最小值为(
)
B
.7
C
.5
D
.7
24
24
12
12
(x)
ax(x2
1)x(a>0)
,方程f[f(x)]
b关于任意b∈[-1,1]都有9
个不等实根,则实数
a的取值范围为(
)
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江西省奉新县第一中学2020届高三上学期第二次月考数学(文)试题和答案
A.(1,
)
B.
(2,
)
C.
(3,
)
D.
(4,
)
二、填空题:本大题共
4小题,每题
5分,共20分
C的内角
,
,C的对边分别为a,b,
2,c
2
3,cos
3,
2
且b
c,则b
.
x
y
0
,y满足
2x
y6
0
,则2xy
1的取值范围为____________.
x
1
(-3,0)、B(
3,0),直线AM、BM订交于点M,且它们的斜率之积为
1
,则
9
动点M的轨迹方程为
.
ABCD中,AB
AD
BC
BD
DC
23,二面角A
BDC的大小为
120,则四周体ABCD的外接球的表面积为
.
三、解答题:本大题共
6小题,共
70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分
10分)若a
0,b
0,且ab
ab
1.
(1)求ab的最大值;
(2)能否存在a,b,使得
1
1的值为
6?并说明原由.
2a
3b
3
18.(本小题满分
12分)已知sin(A
)
72,A(
,
).
4
10
4
2
(1)
求cosA的值;
(2)
求函数f(x)cos2x
5sinAsinx,(0
x
5)的值域.
2
6
19.(本小题满分
12分)已知数列{a
}
的前
n项和为S
,且n、a
、S
成等差数列,
n
n
n
n
bn2log2(1an)1.
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(1)证明数列an1是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原序次构成数列{cn},
求c1c2c50的值.
20.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1
2AB2,BAA1
,D
3
为AA1的中点,点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上.
求证:B1D⊥平面CBD;
(2)若△CBD是正三角形,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
21.(本小题满分
12分)已知函数
f
(
x
)=
ln
x
,(
)=-
x
2+
-2(e
为自然对数的底数,
a
x
gx
ax
R).
(1)若曲线
y
=
(
x
)在点(1,
(1))处的切线与曲线
y
=(
x
)至多有一个公共点时,求
a
的取
f
f
g
值范围;
(2)当x∈1,e时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围.
e
22.(本小题满分12分)如图,ABCD是正方形空地,边长为30m,电源在点P处,点P到边
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AD、AB距离分别为9m、,线
段MN一定过点P,端点N在边AB上,端点M在正方形ABCD的边上,设AN=x(m),液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2).
求S关于x的函数关系式;
(2)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?
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奉新一中2020届高三上学期第二次月考文科数学试卷
参照答案
一、选择题:BACACCABDA
BD
二、填空题:
14.(-11,1]
15.
x2
y2
1x
3
16.
28
9
三、解答题:本大题共
6小题,共
70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(1)
a
b
ab
1,
a
b
1
,
ab
a
0,b
0,
a
b
2
ab,当且仅当a
b时取等号,
1
2ab,
ab
b时取等号.
ab
2
ab的最大值为
1
2
(2)
a0,b
0,
1
1
2
11
2
23,
2a
3b
2a3b
6ab
3
6
2
3,
不存在a,b,使得1
1
的值为
6.
3
3
2a
3b
3
:(1)
由于π<A<π,且sin
(A
)=7
2,所以π<A+π<3π,cos(A
)=-
2.
4
2
4
10
2
4
4
4
10
所以cosA=cos[(A
4
)
]=cos(A
)cosπ+sin(A
4
)sinπ
4
4
4
4
=-
2·2+7
2·2=3.
10
2
10
2
5
由(1)可得sinA=
所以f(x)
5
2
x+2sinx
=cos2x+sinAsinx=1-2sin
2
=-2(sinx
1)2
+3,x∈
0,5
.
2
2
6
sinx∈(0,1]
,当sinx
1时,f(x)
取最大值3;当sinx=1时,f(x)
取最小值1.
=2
2
所以:函数f(x)
的值域为1,3.
2
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:(1)由于n,an,Sn成等差数列,所以
Sn
n
2an
,①
所以Sn1
n12an1n2.②
①-②,得an
1
2an
2an1,所以an
1
2an1
1
n2
.
又当n
1时,S1
1
2a1,所以a1
1,所以a1
1
2,
故数列
an
1
是首项为
2,公比为2的等比数列
所以an
122n1
2n,即an
2n
1
(2)依据(1)知bn
2log2
1
2n
1
1
2n
1,b1
1
,所以bn1bn
2
,
所以数列
bn
是以1为首项,
2为公差的等差数列.
又由于a1
1,a2
3,a3
7,a4
15,a5
31,a6
63,a7
127,b50
99,b56111
c1c2
c50
(b1b2
b56)(a1
a2
a6)
56(1
111)
2(1
26)
3268
2
1
2
6
20.(1)
证明:设点C在平面ABB1A1内的射影为E,则E
BD,CE
平面CBD,且
CE
平面ABB1A1,因B1D
平面ABB1A1,所以CE
B1D.
BAD
ABD
ADB
3
ABD中,AB
AD
3,则
23,
在
1,
A1B1D中,A1B1
A1D
2
2
3
在
1,B1A1D
,则
A1B1DA1DB1
,
3
2
6
故
B1DB
3
6
,故BD
B1D.
2
因CEBD
E,故B1D
平面CBD.
(2)
VABCABC
3VA
ABC
3VCAAB,
1
1
1
1
1
由(1)得CE平面ABB1A1,故CE是三棱锥CA1AB的高,
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CBD是正三角形,
BD
AB
AD
1,CE
3
,
2
SA1AB
1|AB|
|AA1
|sin
BAA1
1
12
sin
3,
2
2
3
2
VCA1AB
1
CE
1
3
3
1,
3SA1AB
32
24
故三棱柱的体积VABC
3VCAAB
3
ABC
.
1
1
1
1
4
(1)f′(x)=lnx+1,所以切线斜率
k=f′(1)=1.
又f(1)
=0,∴曲线在点(1,0)处的切线方程为
y=x-1
2
由y=-x+ax-2,x2+(1-a)x+1=0.
y=x-1
由=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3)可知:
当=0时,即a=-1或a=3时,有一个公共点;
当<0时,即-1<a<3时,没有公共点.
所以所求a的取值范围为-1≤a≤3
2
2
(2)y=f(x)-g(x)=x-ax+2+xln
x,由y=0,得a=x+x+ln
x,
2
1
则由题意知函数
y=a与y=x+x+lnx的图象在x∈
,e上有两个交点.
e
令
h
(
x
)=
2
x
,则′(
x
)=
(x-1)(x+2)
.
++ln
2
x
x
h
x
当x∈1
,e
时,由h′(x)=0,得x=1.
e
所以h(x)在
1,1
上单调递减,在[1,e]上单调递加,
e
所以h(x)min=h(1)
=(
1)=
1
2
+2e-1,h(e)=e+
+1,
e
e
e
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比较可知h(
1)>h(e),所以,结合函数图象可得,当
3<a≤e+
2+1时,函数y=a与y
e
e
2
1
,e上有两个交点,
=x+
+lnx的图象在x∈
x
e
即函数y=f(x)-g(x)有两个零点.
故所求a的取值范围为
3<a≤e+2+1
e
:(1)建立以以下图直角坐标系,
设N(t,0
)则P(9,3),直线MN方程为y
3
(xt)
20
t
9
当MN过D(0,30)时,t=10;当MN过C(30,30)时,t
3
3t
若10≤t≤30时,令x=0,则M(0,
)
t
9
y
9t
2
D
C
2
s
t2
D
MN
(t9)2
M
若
20≤t<10时,令y=30,则M(90
9t,30)
3
P
x
2
s
(10t
90)2
900
A
N
B
MN
若0≤t<20
时,令x=30,则M(30,3(t
3))
s
MN
(t
30)29(t
30)
2
2
3
t
9
(t
9)2
(x
30)2
9(x
30)2
,0
x
20
(x
9)2
3
s
s(x)
(10x90)2
900,20
x
10
3
x2
9x2
,10
x
30
(x
9)2
(2)当10≤x≤30时S′=2
×
x[(x-9)3-81]
,
(x-9)3
令S′=0,得x=0(舍)或9
33
≤x<9
33
3时,S′<0,S关于x为减函数;
当9333<x≤30时,S′>0,S关于x为增函数.
∴SminS(9
333)
(9333)
2(1
3
1)(95)22392.
9
当20≤x<10时,Smin
S(9)
900
3
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当0≤x<20时,S
2(x
30)(x9)3
189
0
x9
337,在(0,9
337)上S关
3
(x9)3
于x为减函数;在
(9
337,20)上S关于x为增函数.
3
∴Smin
S(9
33
7)(21337)2(1
3
1)
(21
5)21676
49
综上:当x9
333m时,液晶广告屏幕
MNEF的面积S最小.
-10-/10