9二重积分的概念和性质.ppt

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二、二重积分的概念
积分区域
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
积分和
对二重积分定义的说明:
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积.
当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值.
由二重积分的定义可知
若二重积分
存在
则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关,故可采用一种便于计算的划分方式
在直角坐标系下,用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域,这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外,绝大部分都是小矩形,
紧靠D的边界的小区域的面积
其中L为D的围长
则面积元素为
D
故二重积分可写为
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质1
性质2
性质3
对区域具有可加性
性质4
若为D的面积,
性质5
若在D上
则有
特殊地
性质6
(二重积分估值不等式)
性质7
(二重积分中值定理)
解
解
解
解