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4)“取极限”
令
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有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,
计算该薄片的质量M.
度为
设D的面积为,
则
若
非常数,
仍可用
其面密
“大化小,常代变,近似和,求极限”
解决.
1)“大化小”
用任意曲线网分D为n个小区域
相应把薄片也分为小区域.
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2)“常代变”
中任取一点
3)“近似和”
4)“取极限”
则第k小块的质量
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两个问题的共性:
(1)解决问题的步骤相同
(2)所求量的结构式相同
“大化小,常代变,近似和,取极限”
曲顶柱体体积:
平面薄片的质量:
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二、二重积分的定义及可积性
定义:
将区域D任意分成n个小区域
任取一点
若存在一个常数I,使
可积,
在D上的二重积分.
积分和
积分域
被积函数
积分表达式
面积元素
记作
是定义在有界区域D上的有界函数,
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引例1中曲顶柱体体积:
引例2中平面薄板的质量:
如果在D上可积,
也常
二重积分记作
这时
分区域D,
因此面积元素
可用平行坐标轴的直线来划
记作
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关于二重积分定义的几点说明:
1、二重积分的值与D域的分法及
的取法无关。
2、二重积分是个极限值,是个数值。其大小只与
及D有关而与积分变量的记号无关。
3、
对D的分割是任意的,若用
平行于坐标轴的直线段来划分D,那么除了靠边的一些
小区域外,绝大部分的小区域都是矩形的,由于
靠边的小区域不作计较。
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二重积分存在定理:
若函数
定理2.
(证明略)
定理1.
在D上可积.
限个点或有限个光滑曲线外都连续,
积.
在有界闭区域D上连续,
则
若有界函数
在有界闭区域D上除去有
例如,
在D:
上二重积分存在;
在D上
二重积分不存在.
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上方的体积-下方的体积。
二重积分的几何意义
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