Herleitung von Grundvorstellungen als normative Leitlinien – Beschreibung eines theoriebasierten Verfahrensrahmens 2021 Alexander Salle.pdf

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JMathDidakt
/s13138-021-00184-5
ORIGINALARBEIT/ORIGINALARTICLE
HerleitungvonGrundvorstellungenalsnormative
Leitlinien–Beschreibungeinestheoriebasierten
Verfahrensrahmens
AlexanderSalle·TommaClüver
Eingegangen::ärz2021
©Der/dieAutor(en)2021
ZusammenfassungGrundvorstellungenstellenRichtlinienfürdieGestaltungvon
LernprozessensowiefüreinestrukturierteErforschungmentalerRepräsentationen

kann,wirdinderLiteraturunterschiedlichbeschriebenodernurteilweiseexpliziert.
ImvorliegendenBeitragwirdeinVerfahrensrahmenfürdieHerleitungvon
ünf
Schritte:(1)FestlegungzentralerKonzepte,zudenenGrundvorstellungenfor-
muliertwerdensollen,sowieweitererRichtlinienfürdenHerleitungsprozess,
(2)sachanalytischbegründeteKlassenbildungaufBasisrelevantermathematischer
Deflnitionen,derBegriffsphänomenologiesowieempirischerErgebnisse,(3)Formu-
lierungkonkreterGrundvorstellungenanhanddergebildetenKlassenundAnalyse
ihrerBeziehungenuntereinander,(4)BestimmungvonGrundkenntnissenundAna-
lysederBeziehungenzuanderenGrundvorstellungen,(5)Klärungderdidaktischen
Relevanz.
DieHerleitungvonGrundvorstellungenmitdiesemVerfahrensrahmenwirdan-
handdesSinus-undBruchzahlbegriffsexempliflziert.
SchlüsselwörterGrundvorstellungen·Stoffdidaktik·Phänomenologie·
Sachanalyse·Sinus
()·üver
InstitutfürMathematik,UniversitätOsnabrück,Osnabrück,Deutschland
E-Mail:alexander.******@uni-
K:.
,üver
DerivingBasicIdeasasPrescriptiveGuidelines—Descriptionof
aTheory-BasedFramework
AbstractBasicideas(Grundvorstellungen)areguidelinesfortheconceptionof
-
,itisoftennotexactlydescribedhow
content-speciflcformulationsofbasicideasarecarriedout.
Inthispaper,weproposeaframeworkforderivingbasicideasasprescriptive
:(1)selectionofthecentralmathematicalcon-
ceptsforwhichbasicideasshouldbeformulatedandapreliminarydeterminationof
furtherguidelines,(2)classformationbasedonsubject-matteranalysesofrelevant
deflnitions,theirphenomenologyandempiricalflndings,(3)formulationofbasic
ideasbasedonthepreviouslyformedclassesandanalysesoftherelationshipsbe-
tweentheformulatedbasicideas(4)speciflcationoftherelevantbasicknowledge
andanalysesoffurtherbasicideas,(5)assessmentofthedidacticalrelevance.
Thederivationofbasicideaswiththeproposedframeworkiscarriedoutexem-
plarilyfortheconceptsofsineandfractionalnumbers.
KeywordsBasicmentalrepresentations·Grundvorstellungen·Subject-matter
didactics·Phenomenology·Sine
1Einleitung
Welche„Vorstellungen“,„Anschauungen“und„Verinnerlichungen“Schülerinnen
undSchülermitmathematischenBegriffenverbinden,beschäftigtseitlangerZeit
Mathematikdidaktik,PädagogikundPsychologie(vomHofe1995;vomHofeund
Blum2016).ImKernderForschungsvorhabenstehtdieMotivation,dasLernenma-
,Verständnisschwierigkeiten
durchdieAusbildungadäquaterVorstellungenzubegegnenunddieBegriffsbildung
zuunterstützen(;Prediger2008).Anknüpfendandiegenannten
BegriffearbeitetvomHofe(1995)dieHerkunftdesBegriffs„Grundvorstellung“
auf;GrundvorstellungenstehenfürinhaltlicheDeutungenmathematischerBegriffe
undgeltenals„ElementederVermittlung[...]zwischenderWeltderMathematik
undderindividuellenBegriffsweltdesLernenden“(vomHofe1995,;
).
SeitdieserBegriffslegunghatdasGrundvorstellungskonzepteineenormePopu-
laritä
StudienLeistungsunterschiedevonSchülerinnenundSchülermithilfedesGrund-
vorstellungskonzepteserklärtwerden(;;
Wartha2007).
ZumanderenspielenGrundvorstellungenaufschulpraktischerEbeneeinewich-
tigeRolle:InBildungsstandardsundLehrplänenflndetdasGrundvorstellungskon-
zeptexpliziteBerücksichtigung(ü-
reife,StändigeKonferenzderKultusministerderLänderinderBundesrepublik
Deutschland2015;ürdasGymnasium–,
K:.
HerleitungvonGrundvorstellungenalsnormativeLeitlinien–Beschreibungeines...
NiedersächsischesKultusministerium2018).AuchSchulbücherundfachdidaktische
GrundlagenwerkegreifenGrundvorstellungenalsLeitlinienfürdenMathematikun-
terrichtauf(;PadbergundWartha2017;vomHofeetal.
2014).
ZentralerAusgangspunktfürdiegenanntenRezeptionenistdieKonkretisierung
vonGrundvorstellungeninverschiedenenInhaltsbereichen(Prediger2010).Dabei
wirddieHerleitungderGrundvorstellungeninunterschiedlicherWeiseundAusführ-
lichkeitdargestellt:Grundvorstellungenwerdenentwederanhanddergrundlegenden
mathematischenObjekte,ihrerDeflnitionensowierelevanterAnwendungskontexte
hergeleitet(;Weber2016),mitVerweisauffach-und
stoffdidaktischeBeiträgeformuliert(;Stölting2008)oder–oftmals
imRahmenunterrichtspraktischerBeiträge–ohneweitereExplikationdervorge-
nommenenHerleitungangegeben(;SalleundFrohn2017).Welche
konkretenÜberlegungenbeiderKonstruktionderjeweiligenGrundvorstellungen
ausgeführtwurden,bleibthä,
indemnööglicheSchrittefüreineHerleitungvonGrundvorstellungen
dargelegtwerden.
BasierendaufderbisherigenForschungzuGrundvorstellungenwirdindiesem

RahmenmodellkanneinenwichtigenBeitragfürdieHerleitungneuerGrundvor-
önnenanhanddieses
RahmensdieHerleitungsprozessebereitsformulierterGrundvorstellungenexpli-

-
lenkeinen„Algorithmus“zurHerleitungvonGrundvorstellungendar(
1991,);vielmehrwerdenessenzielleBegriffegeklärtundSchritteangegeben,
diefüreineHerleitungvonGrundvorstellungengrundlegendsind.
NachderDarstellungdesGrundvorstellungskonzeptes()wirdbasie-
rendaufÜberlegungenzustoffdidaktischorientiertenSachanalysen,zurPhäno-
menologiemathematischerBegriffesowiezubisherformuliertenGrundvorstellun-
gen()einVerfahrensrahmenfürdieHerleitungvonGrundvorstellungen
vorgeschlagen().DiesesVerfahrenwirdexemplarischfürausgewählte
GrundvorstellungenzumSinus-undBruchzahlbegriffdargestellt().Ab-
schließendwerdenPerspektivendesHerleitungsverfahrensaufgezeigt().
2GrundvorstellungenmathematischerInhalte

Grundvorstellungenkonzeptualisieren„idealtypischementaleRepräsentationen“
(,)mathematischerObjekteundSachverhalteundwerden
somitzunächstalsstofflichbasierteLeitlinienfü-
taleRepräsentationenwerdenkognitionspsychologischals„geistigeAbb[ildungen]
vonWahrnehmung,Gedächtnisinhalteno[der]Denkprozessen“(Städtler2003,
)
K:.
,üver
Abbildungennichtausschließlichbildhaftzuverstehen;vielmehrsindenaktive
(äsentiertalsZusammenfassenoderHinzufügenvonElementen,
HasemannundGasteiger2014),ikonische(äsentiertalsderFlä-
cheninhaltzwischenGraphundx-Achse,)odersymbolische
(äsentiertalsdieumeinsverminderteStellenzahleinerZahl,
Weber2013)Repräsentationsformate„denkbar“(Bruner1964;Lorenz2017).
Das„Idealtypische“dermentalenRepräsentationenbeziehtsichbeiGrundvorstel-
lungen,dieanderSchnittstellevonMathematikundRealitätverortetsind,sowohl
aufStrukturübereinstimmungenzwischendenRepräsentationenunddembetrach-
tetenmathematischenKonstruktalsauchaufStrukturübereinstimmungenzwischen
denRepräsentationenunddembetrachtetenrealitätsnahenSachverhalt(Grieseletal.
2019;).ImSinnedesVerkürzungsmerkmalsvonModellennach
Stachowiak(1973)weisendieidealtypischenRepräsentationeninbeidenFällenhin-
reichendstrukturelleÜbereinstimmungenaufundsindnichtalsvollständigstruk-

GrundvorstellungenerfüllendreiEigenschaften:DieersteEigenschaftbetrifftei-
nedenGrundvorstellungeninhärenteinhaltlicheDeutungmathematischerBegriffe
(,2016b;vomHofe1995).Grundvorstellungenleistensomit
einenBeitragzueinemsinnstiftendenMathematiktreiben,indemsieaufAnwen-
dungenderBegriffe,aufdiehistorischeBegriffsgeneseundauffundamentaleIdeen
Bezugnehmen(;Vohns2005).InsbesonderesollenGrundvorstel-
lungendenLernendeneineSinnkonstituierungderBegriffedurcheineentsprechen-
deAnknüpfunganderenVorwissenermöglichen(vomHofe1995).Dabeikönnen
sichdieseErfahrungensowohlaufdieunmittelbareLebensweltderLernenden(sog.
primäreGrundvorstellungen)alsauchaufgedanklicheOperationenmitmathemati-
schenDarstellungsmitteln(äreGrundvorstellungen)beziehen(vomHofe
undBlum2016).
DieAdäquatheitderinhaltlichenDeutungenistvordemHintergrunddesGültig-
keitsbereichsdesbetrachtetenmathematischenBegriffsunddesBezugsrahmensder
Grundvorstellungcharakterisiert(;Roos2020).DerGültig-
keitsbereicheinesBegriffsgibtdessen(mathematische)-
weisekanndieMultiplikationimGültigkeitsbereichdernatürlichenZahlenadäquat
alswiederholteAdditiondesMultiplikandengedeutetwerden,indenrationalenZah-
lenjedochnurnochinSonderfällen(PadbergundWartha2017).Weitetmanden
GültigkeitsbereicheinesBegriffsaus,sokö
-
lichenAnpassungenwerdenalsGrundvorstellungsumbrüchebeschrieben(Padberg
undWartha2017;Wartha2007;).ImBezugsrahmeneiner
GrundvorstellungwerdendiejenigenKenntnisse,Kompetenzenund(Grund-)Vor-
stellungenzusammengefasst,dienotwendigfürdenAufbaudieserGrundvorstellun-
ürlicherZahlenistdamitbeispielsweiseim
BezugsrahmenderobenbetrachtetenGrundvorstellungzurMultiplikationverortet.
1WelcheÜbereinstimmungenindenkonkretenFällenhinreichendsind,wirddabeiinersterLinievom
()expliziert.
K:.
HerleitungvonGrundvorstellungenalsnormativeLeitlinien–Beschreibungeines...
DasindererstenEigenschaftdesGrundvorstellungskonzeptesverankerteZiel,
einembedeutungslosenMathematiktreibendurcheineAnknüpfungdermathemati-
schenKonzepteandieVorerfahrungenderLernendenentgegenzuwirken,isteben-
fallsAusgangsgedankederPrototypennachDörfler(1990)undderKernideennach
GallinundRuf(1993).VerglichenmitGrundvorstellungensinddieAusrichtungen
derKonzeptejedochunterschiedlich:Um„bedeutungskonstitutiveHandlungen“mit
demBegriffzuermöglichen,hebtDörfler(1990,)dieEntwicklungsche-
matisierterVorstellungen,sogenannterPrototypen,hervorundbetontdamit„die
RekonstruktionundAbstraktionderzentralenund,deflnierenden‘Eigenschaften
undBeziehungendesentsprechendenBegriffs“.MitdemKonzeptderKernideen
wirddieBedeutungskonstruktionbeiderUnterrichtsplanungherausgestellt(Gallin
undRuf1993).ImRahmendesdialogischenLernmodellswerdenhierbeinichtnur
dieSichtweisenundErfahrungenderLernenden,sonderninsbesondereauchdieder
Lehrpersonbedacht(Ruf2008).
NebenderSinnkonstituierungmathematischerBegriffewerdenzweiweitere
KerngedankeninderGrundvorstellungsideefokussiert:DiezweiteEigenschaftvon
Grundvorstellungendrücktaus,dasssieüberdieAnknüpfunganverschiedene
HandlungenundOperationenein„operativesHandelnaufderVorstellungsebene“
(vomHofe1995,)ermöglichensollen.Überdie„Verinnerlichung“vonHand-
lungenimPiagetschenSinnesoll