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(一)动点证明题
,在△ABC中,AB=AC,
(1)若P为边BC上的中点,连结AP,求证:BP×CP=AB2-AP2;
(2)若P是BC边上任意一点,上面的结论还成立吗?若成立请证明,若不成立请阐明理由;
A
B
P
C
(3)若P是BC边延长线上一点,线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论.
(二)最值问题
,E为正方形ABCD的边AB上一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值是
,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将
BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
E
AD
BCC
N
M
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
E
AD
BCC
N
M
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并阐明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
E
AD
BCC
N
M
:如图①,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=:运用轴对称,把△ADC进行翻折,再通过推理、计算使问题得到解决.
(1)请你回答:图中BD的长为;
(2)参照小明的思路,探究并解答问题:如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=
∠C=2∠DAC=30°,DC=2,求BD和AB的长.
图①图②
:
小伟遇到这样一种问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一种可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。
小伟是这样思考的:△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解(如图2).
请你回答:AP的最大值是.
参照小伟同窗思考问题的措施,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△=4,P为△ABC内部一点,则AP+BP+CP的最小值是.(成果可以不化简)
,P是等边三角形ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,求∠APB的度数.
变式1:∆ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,点P是∆ABC内一点,且PA=6,PB=2,PC=4,求∠BPC的度数
C
B
A
P
变式2:问题:如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数.
小娜同窗的想法是:不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PA、PB、PC相对集中,于是她将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE(如图2),然后连结PE,问题得以解决.
请你回答:图2中∠APB的度数为.
请你参照小娜同窗的思路,解决下列问题:
如图3,P是等边三角形ABC内一点,已知∠APB=115°,∠BPC=125°.
(1)在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一种三角形(保存画图痕迹);
(2)求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于.
图1图2图3
△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一种圆心角为,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时,如图①,求证:;
C
A
B
E
F
M
N
图①
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式与否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请阐明理由.
C
A
B
E
F
M
N
图②
变式1:如图,在中,
且,,则=
变式2:如图,在Rt△ABC中,,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△绕
点顺时针旋转90后,得到△,连接,下列结论:
B
C
D
E
F
A
①△≌△;
②△≌△;
③;
④其中对的的是()
A.②④;B.①④; C.②③; D.①③
(三)其他应用
,、、三边的长分别为、、,求这个三角形的面积.
小宝同窗在解答这道题时,先建立一种正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将的面积直接填写在横线上__________________;
思维拓展:
(2)、、(),请运用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的,并求出它的面积填写在横线上__________________;
摸索创新:
(3)若中有两边的长分别为、(),且的面积为,试运用构图法在图3的正方形网格(每个小正方形的边长为)中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种状况),并求出它的第三条边长填写在横线上__________________.
∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重叠),分别以AB、AP为边在
∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.
(1)如图1,若AB=,点A、E、P正好在一条直线上时,求此时EF的长(直接写出成果);
(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段),并加以证明;
(3)若AB=,设BP=,以QF为边的等边三角形的面积y,求y有关的关系式.